Wissenschaftssommer 2008

Knoten im Kopf

Wie stellt sich die Mathematik Knoten vor?

Knoten kennt jeder. Die meisten verknoten jeden morgen ihre Schnürsenkel, aber was hat das mit Mathematik zu tun? Knoten spielen auch in der Mathematik eine Rolle, dort unterscheiden sie sich aber etwas von den Knoten, die man aus dem Alltag kennt. Alltagsknoten haben zwei oder mehr Enden, mathematische Knoten haben gar keine, denn sie sind geschlossen Kurven im Raum:

Alltagsknoten und mathematischer Knoten

Wann sind zwei Knoten gleich?

Die Mathematik interessiert sich nicht für die Größe von Knoten. Ob der Knoten einen oder zehn Meter lang ist, ist egal. Auch Verbiegungen des Knotens, ein Zurren an einem Strang oder das Umschlagen einer Schlaufe verändern den Knoten nicht in seiner Art. Man kann also sagen, jede Bewegung, die man mit dem Knoten machen kann, ohne ihn zu zerreißen, zu zerschneiden oder zu verkleben, verändert den Knoten nicht. Mathematiker nennen dies isotop. isotope Knoten

Darstellung von Knoten in der Ebene

Wir haben viele Knoten mitgebracht, die man anschauen, anfassen und bewegen und verzurren kann. Aber weil die Knoten räumliche Gebilde sind, können wir sie hierr leider nur symbolisch darstellen. Die Abbildung der Knoten auf diesem Papier ist wie der Schatten des Knotens, den die Sonne auf eine Unterlage wirft. Überkreuzt sich ein Knoten an einer Stelle, so ist im Schattenbild nicht mehr zu erkennen, welcher Teil über dem anderen liegt. Deswegen werden in der ebenen Darstellung Brücken an diesen Stellen eingefügt.

Schatten und Brücken

Rechnen mit Knoten

Man kann sogar mit Knoten rechnen. Schneidet man einen Knoten an einer Stelle auf und verklebt jedes Ende mit einem Ende eines weiteren Knotens, den man auch an einer Stelle aufgeschnitten hat, so bekommt man einen neuen Knoten heraus.

Verkleben von Knoten

Diese Verklebung von zwei Knoten ist der Multiplikation von natürlichen Zahlen sehr ähnlich. Es geht sogar noch weiter: So wie es in der Mathematik Primzahlen gibt, die sich nicht als Produkt zweier kleinerer Zahlen schreiben lassen, so gibt es Primknoten, die sich nicht aus kleineren Knoten zusammensetzen lassen.

Primknoten

Ausblick

Man kann mit Knoten noch viel mehr machen und sich weitere Fragen stellen. Mathematiker haben Verbindungen zwischen den Knoten und anderen Bereichen der Mathematik gefunden, z. B. der Topologie, der Algebra und der Differentialgeometrie. Aber auch zu anderen Naturwissenschaften wie der Physik und natürlich auch zur Kunst gibt es Verbindungen. Knoten sind halt spannend.

Quellen / Fußnoten: [1] Colin C. Adams: Das Knotenbuch - Einführung in die mathematische Theorie der Knoten, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995.
[2] Charles Livingston: Knotentheorie für Einsteiger, vieweg Mathematik, Braunschweig, 1995. [3] Alexei Sossinsky: Mathematik der Knoten, Rowohlt, Hamburg, 2000.

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