Wissenschaftssommer 2008

Hat jede Fläche eine Rückseite? - Das Möbiusband

Der Leipziger Mathematiker und Astronom August Ferdinand Möbius (1790 -1868) erklärte das Problem der Orientierbarkeit einer Fläche an einem überschaubaren Beispiel, dem heute nach ihm benannten Möbiusband.

Es handelt sich um eine gekrümmte Fläche im dreidimensionalen Raum, die nur einen Rand und nur eine Seite hat.

Man kann ein Modell basteln, indem man die zwei Enden eines rechteckigen Papierstreifens nach einmaliger Verdrillung so zusammenklebt, dass jede Ecke mit der ihr diagonal gegenüber liegenden Ecke zusammenfällt. Versucht man, eine Seite dieses Bandes komplett zu färben, so stellt man fest, dass man, ohne den Rand zu überqueren, auch die scheinbare Rückseite mit einfärbt. Man kann somit auf dem Band nicht zwischen oben und unten, aber auch nicht zwischen rechts und links unterscheiden.

Interessante Effekte entstehen, wenn man auf dem Band eine Mittellinie oder zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Band längs dieser Linie(n) aufschneidet, also es scheinbar halbiert oder drittelt. Im ersten Fall, also beim Durchschneiden entlang der Mittellinie, entsteht ein mehrfach verdrillter (um 720 Grad in sich verdrehter) Ring mit zwei Seiten und zwei Rändern. Im zweiten Fall entstehen zwei Objekte: Ein Möbiusband und ein mehrfach verdrillter Ring, die ineinander hängen.

Praktisch genutzt wird das Möbiusband z. B. bei Förderbändern, wo es für gleichmäßige Abnutzung sorgt. Es findet Anwendung in Physik und Chemie und regte zu künstlerischen Darstellungen an. Schlüsselbänder werden oft in der Gestalt von Möbiusbändern hergestellt.

Nach einem Studium an der Universität Leipzig und Studienreisen nach Göttingen (Studium bei Karl Friedrich Gauß) und Halle (Tätigkeit als Mathematik- und Physiklehrer und Fortsetzung seiner mathematischen Ausbildung bei Johann Friedrich Pfaff) wurde A. F. Möbius 1816 zum Observator der Sternwarte auf der Pleißenburg und zum außerordentlichen Professor für Astronomie an der Universität Leipzig ernannt. Hier wurde er 1820 Direktor der Sternwarte und 1844 ordentlicher Professor für Astronomie und Mechanik.

Sein hauptsächliches Arbeitsgebiet bestand in der Untersuchung von Wechselwirkungen zwischen Geometrie und Mechanik. Wertvolle Beiträge zur analytischen Geometrie leistete er mit der Einführung der homogenen Koordinaten und des Dualitätsprinzips. Er war 1846 Mitbegründer der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, der jetzigen Sächsischen Akademie der Wissenschaften.
Im Jahr 1907 wurden eine Straße und ein Platz im Leipziger Stadtteil Reudnitz nach ihm benannt.

Quellen / Fußnoten:[1] Rudolf Fritsch. Möbius, August Ferdinand. In Neue Deutsche Biographie, Band 17. Duncker und Humblot, Berlin 1994, 600--603. (mehr)
[2] Walter Purkert. Die Mathematik an der Universität Leipzig von ihrer Gründung bis zum zweiten Drittel des 19. Jahrhunderts. In H. Beckert, H. Schumann (Hrsg.): 100 Jahre Mathematisches Seminar der Karl-Marx-Universität Leipzig. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1981, 9--39.

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