Wissenschaftssommer 2008

Pentominos - Ein Klassiker neu entdeckt

Pentominos sind gewisse Spielsteine oder Figuren, die 1907 ihre erste Erwähnung in den Canterbury Puzzles von Henry Ernest Dudeney fanden. Den Begriff selbst prägte der amerikanischen Mathematiker Solomon W. Golomb 1953 in einem Vortrag in Harvard. Durch ihn und durch Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in der Zeitschrift Scientific American gewann Pentomino in den 60er Jahren zunehmend an Popularität. Aber was verbirgt sich hinter dem seltsamen Namen Pentomino? Ein kleiner Bruder der Pentomino-Steine ist der bekannte Domino-Stein - ein Spielstein, der aus 2 Quadraten zusammengeklebt ist. Ebenfalls bekannt sind die Tetromino-Steine aus dem Spiel Tetris. Ein Pentomino-Stein ist aus 5 Quadraten zusammengesetzt (griech.: pento- = fünf). Es gibt genau 12 verschiedene Pentominos:
Seit Jahrzehnten beschäftigen sich Knobler, Bastler und Mathematiker mit Aufgaben und Knobeleien rund um die Pentominos. Viele klassische Puzzles und Probleme stammen aus den 20er bis 50er Jahren, doch selbst heute noch tauchen neue Fragen auf. Im Zeitalter des Computers können viele dieser Aufgaben mit geeigneten Programmen gelöst werden. Andere jedoch stellen auch heute noch offene Probleme dar.

Am Stand der LSGM zum Wissenschaftssommer 2008 präsentieren wir die folgenden Spiele:

Aufgabe 1:

Bei dem wohl klassischsten und auch bekanntesten Legepuzzle besteht die Aufgabe darin, ein gegebenes Rechteck vollständig mit den Pentomino-Steinen auszulegen. Für ein solches Rechteck gibt es mehrere Möglichkeiten, nämlich 6x10, 5x12, 4x15 oder 3x20 Kästchen. Hier ein Beispiel für das 6x10-Rechteck.
Mit Hilfe des Computers konnte herausgefunden werden, dass es für das 6x10-Rechteck insgesamt 2339 Lösungen, für das 5x12-Rechteck 1010 Lösungen, für das 4x15-Rechteck 368 Lösungen, aber für das 3x20-Rechteck gerade einmal 2 Möglichkeiten gibt! Die erste Zahl 2339 klingt zunächst so, als wäre diese Aufgabe eine Leichtigkeit, weil ja Unmengen von Möglichkeiten existieren. Aber man stellt schnell fest, dass dies ein Trugschluss ist...

Eine Online-Version dieses Spiels für das 6x10-Rechteck findet man auf http://www.math.clemson.edu/~simms/java/pentominoes. Verschiedene Figuren unterschiedlichen Schwierigkeitsgrads kann man auf http://www.fwend.com/pentomino.htm auslegen. Ein Programm zum Donwload gibt es auf http://www.recmath.com/PolyPages/PPD/index.htm?Polyominoes.html.

Aufgabe 2:

Ein tolles strategisches Zwei-Personen-Spiel, welches an unserem Stand getestet werden kann, ist das folgende:
Zwei Personen spielen auf einem kleinen quadratischen 8x8-Spielfeld mit einem Satz Pentominos. Die Steine legt man auf einen Haufen neben das Brett. Es wird ausgelost, wer beginnen darf. Der erste Spieler nimmt einen Stein seiner Wahl und legt ihn auf das Brett. Im nächsten Zug darf der zweite Spieler einen Stein seiner Wahl auf das Brett legen, dann ist wieder der erste dran, usw.
Das Spiel endet, wenn kein Stein mehr Platz auf dem Brett findet oder alle Steine aufgebraucht sind. Gewonnen hat derjenige, der den letzten Stein legen konnte.

Zusatzaufgabe:

Lege so wenig wie möglich Steine auf dem 8x8-Quadrat, so dass kein weiterer Pentomino-Stein Platz hat. Was ist die minimale Anzahl?

Knifflige Frage:

Hat einer der Spieler eine Gewinnstrategie?
Die ersten Vorschläge zu einer Strategie stammen von Solomon W. Golomb. Man findet sie schön dargestellt in [1]. Im Jahre 1994 konnte Hilarie Orman beweisen, dass der Spieler, der das Spiel beginnt, den Sieg erzwingen kann.

Aufgabe 3:

Eine Erweiterung des letzten Spiels, welches auch von mehr als 2 Personen gespielt werden kann, ist das folgende: Zwei bis vier Personen spielen auf einem 16x16- oder 20x20-Spielfeld mit zwei Sätzen Pentominos. Die Steine werden vor Beginn des Spiels unter den Mitspielern verteilt: Reihum werden die Steine ausgewählt und derjenige, der den letzten Stein nimmt, darf beginnen. Er nimmt einen seiner Steine und legt ihn auf das Brett. Im nächsten Zug darf der zweite Spieler einen Stein seiner Wahl auf das Brett legen, dann ist der dritte dran, usw.
Die gelegten Steine dürfen sich an keiner Kante berühren, höchstens an den Ecken. Wenn ein Spieler nicht mehr legen kann, muss er einen beliebigen Stein vom Spielbrett nehmen. Gewonnen hat derjenige, der als erstes keine Steine mehr hat.
Spiele dieser Art sind auch im Handel erhältlich. Eines der meistprämierten Brettspiele ist Blokus, welches 2002 für das Spiel des Jahres nominiert wurde. Hier kommen verschiedene Polyomino-Steine zum Einsatz. Ebenso bei Ubongo, welches 2005 den vierten Platz beim Deutschen Spiele Preis und und das Finale des International Gamers Award erreichte. Mit zwei Sätzen Pentominos spielt man Duopento.

Aufgabe 4:

Zuguterletzt rufen wir mit unseren Pentominos zu einem kleinen Wettbewerb auf: Lege mit den Pentomino-Steinen einen Ring, so dass die eingeschlossene Fläche maximal wird! Hier sehen wir eine Lösung dieses Problems mit 97 eingeschlossenen Kästchen. Das ist aber noch lange nicht das Maximum!

Was ist die maximale Fläche, die du mit den Pentomino-Steinen umschließen kannst? Wer von unseren Besuchern findet die größte Fläche? Für besonders tolle Lösungen gibt es Preise.
Die Antwort auf die Frage nach der maximal mit Pentomino-Steinen umschließbaren Fläche ist uns leider unbekannt. Sollte jemand eine Lösung dieses Problems kennen, sind wir dankbar über diese Information.

Weitere Infos:http://www.mathematische-basteleien.de/pentominos.htm
http://www.blokus.com
http://www.math.clemson.edu/~simms/java/pentominoes/
http://www.fwend.com/pentomino.htm
http://www.recmath.com/PolyPages/PPD/index.htm?Polyominoes.html
Quellen / Fußnoten: [1] Solomon W. Golomb: Polyominoes. Puzzles, Patterns, Problems, and Packings, 2. Aufl. (Princeton University Press, Princeton 1994)
[2] George E. Martin: Polyominoes. A Guide to Puzzles and Problems in Tiling (The Mathematical Association of America, New York 1991)
[3] Martin Gardner: Mathematical Games: Pentominoes and polyominoes: five games and a sampling of problems, Scientific American (Oktober 1965)
[4] Martin Gardner: Mathematical Games: On Tessellating the Plane with Convex Polygons, Scientific American (Juli 1975)

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