Wissenschaftssommer 2008

Spiele mit Wasser

Es geht darum, eine bestimmte Wassermenge abzumessen, wobei man nur Wasser zwischen vorgegebenen Gefäßen hin- und herschütten darf.
Manche von euch kennen solche Aufgaben vielleicht aus der Matheolympiade. Der einzige Unterschied ist, dass sie hier nicht mit Zettel und Stift zu lösen sind, sondern direkt ausprobiert werden können.
Das bedeutet natürlich auch, dass man für genaue Ergebnisse genau umschütten muss. Außerdem ist es selbstverständlich gut, wenn man kein Wasser verschüttet und nicht unnötig oft zwischen den Gefäßen hin- und hergießt.
In den Aufgaben sind die Mengen immer in Litern angegeben. Da diese großen Gefäße aber etwas unhandlich wären, werden hier am Stand kleinere Gefäße verwendet, aber die Verhältnisse stimmen natürlich mit denen in den Aufgaben überein.

Die Aufgabe(n):

Aufgabe 1
Auf deinem Nachhauseweg triffst du zwei Jungen. Die beiden haben ein Problem und brauchen deine Hilfe. Sie besitzen 9 Liter Wasser, dass sich in einem Behälter befindet. Außerdem haben sie sich von zwei anderen Passanten ein 5-Liter- und ein 4-Liter-Gefäß geborgt. Die beiden Jungen wollen das Wasser nun teilen, aber nicht gerecht, sondern so, dass einer 7 Liter und der andere 2 Liter bekommt. Leider hast du keine weiteren Behälter dabei, mit denen du Wasser abmessen könntest. Kannst du den beiden trotzdem helfen?
(Zur Kontrolle gibt es am Stand einen Messbecher. Dazu muss man wissen, dass bei den Gefäßen hier 50 ml einem Liter in der Aufgabe entsprechen.)

Aufgabe 2
Dein Mathelehrer musste kurzfristig seine Stunde verlassen. Er hat eurer Klasse 2 volle Gefäße (die 7 bzw. 5 Liter Wasser fassen) und ein leeres 9-Liter-Gefäß dagelassen und euch die Aufgabe gestellt, die vorhandene Wassermenge nur durch Umschütten in zwei gleiche Hälften zu teilen.
Nach einer Weile stellt ihr fest, dass das leider unmöglich ist. Aber ihr habt die Idee zusätzlich ein großes, leeres Gefäß, dass sich in eurem Klassenzimmer befindet, zu nutzen.
Wie könnt ihr die Aufgabe nun lösen?

Aufgabe 3
Drei Räuber stahlen ein Gefäß mit 24 Litern wertvollen Balsams. Auf ihrer Flucht kauften sie von einem Händler drei leere Kannen. In ihrem Versteck wollten sie den Balsam aufteilen, aber sie stellten zu ihrer Enttäuschung fest, dass ihre Kannen 5 Liter, 11 Liter und 13 Liter fassten.
a) Gib an, wie es die Räuber durch Umschütten erreichen konnten, dass sich in einem der vier Gefäße 8 Liter Balsam befanden!
b) Wie konnten sie die wertvolle Flüssigkeit gerecht zwischen sich aufteilen, obwohl nur die vier Gefäße zur Verfügung standen.
(Dies ist die Aufgabe 400624 der Matheolympiade)

Aufgabe 4
Stell dir folgende Situation vor:
Um etwas Geld zu verdienen, willst du an einem sehr heißen Tag auf einem Jahrmarkt Wasser an die Besucher verkaufen. Zu Hause findest du daf ür einen großen Behälter, in den du das gesamte Wasser füllst, und zwei Gefäße von denen eins 10 Liter und das andere 7 Liter Wasser fasst.
Gerade auf dem Jahrmarkt angekommen, hast du auch schon deine ersten beiden Kunden. Allerdings will der eine unbedingt genau 6 und der andere unbedingt 5 Liter Wasser kaufen.
Wie kannst du beide zufriedenstellen?
Nach diesen zwei Kunden hast du etwas Zeit zum Nachdenken und nat ürlich stellst du dir die Frage, ob du noch andere Literzahlen abmessen kannst. Wie sieht es zum Beispiel mit 5 Litern oder 2 Litern aus?
Findest du auch heraus, welche Literzahlen du überhaupt abmessen kannst? (Zur Kontrolle gibt es am Stand einen Messbecher. Dazu muss man wissen, dass bei den Gefäßen hier 50 ml einem Liter in der Aufgabe entsprechen. Außerdem kann das Ergebnis natürlich ungenau werden, wenn man oft umschütten muss.)

Aufgabe 5
Du hast vor dir 10 Liter Wasser in einem Behälter und willst dieses gerecht zwischen dir und einem Freund aufteilen (ohne zu schätzen). Dazu stehen dir zusätzlich noch ein leeres 7-Liter-Gefäß und ein leeres 3-Liter-Gefäß zur Verfügung. Wie gehst du vor?
Nach getaner Arbeit denkst du noch etwas über die Aufgabe nach und stößt auf die folgenden Fragen:
Wie oft hast du bei der Lösung umgeschüttet? Geht das eventuell noch schneller? Geht dasselbe immer noch, wenn statt des 7-Liter- und des 3-Liter-Gefäßes ein 9-Liter- und ein 4-Liter-Gefäß zur Verfügung stehen?
Könntest du in diesem Fall auch 3 Liter oder 7 Liter abmessen? Falls nicht, würde es dir helfen, wenn du zusätzlich ein großes leeres Gefäß oder ein großes, mit genügend Wasser gefülltes Gefäß zur Verfügung hättest.

Komplexitätsklasse: PSPACE

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