Wissenschaftssommer 2008

Ausflug in die vierte Dimension

Der vierdimensionale Würfel (auch Hyperwürfel, Hyperkubus oder Achtzell genannt) entsteht als überdeckungsgebilde, wenn ein gewöhnlicher dreidimensionaler Würfel der Kantenlänge a in einer vierten Dimension senkrecht zum gesamten dreidimensionalen Raum um die Länge a bewegt wird. Die Anfangslage kann man sich als Grundfläche und die Endlage als Deckfläche vorstellen. Der Hyperwürfel wird von insgesamt acht gewöhnlichen dreidimensionalen Würfeln begrenzt, die sozusagen seine 'Seitenflächen' oder seinen Rand bilden.


Am Ausstellungsstand wird ein Modell des Kantennetzes eines Hyperwürfels gezeigt, welches von Schülern während ihres Betriebspraktikums am Mathematischen Institut der Universität Leipzig entworfen wurde. Es kann helfen, manche der folgenden Aufgaben zu lösen.

  • Wieviel Ecken, Kanten, zweidimensionale Randquadrate bzw. dreidimensionale Randwürfel hat der Hyperwürfel?
  • Zu zwei fest gewählten Ecken des Hyperwürfels bestimme man die Anzahl der auf Kanten verlaufenden einfachen Wege, die diese zwei Punkte verbinden. Dabei ist unter einem einfachen Weg ein Weg zu verstehen, der keinen Punkt zweimal durchläuft.
  • Zwei Spieler entfernen abwechselnd jeweils eine Kante des Kantennetzes eines Hyperwürfels. Gewonnen hat derjenige, dem es gelingt, dieses Netz der Kanten in zwei (oder mehrere) nicht zusammenhängende Teile zu zerlegen. Gibt es eine Gewinnstrategie für den anziehenden oder den nachziehenden Spieler?
  • Gibt es einen geschlossenen Weg über die Kanten des Hyperwürfels, der jede Ecke genau einmal durchläuft?
  • Gibt es einen geschlossenen Weg, der jede Kante des Hyperwürfels genau einmal durchläuft?
  • Man entferne vorab eine beliebige Ecke und die Kanten, die sich in dieser Ecke treffen.
    • Gibt es jetzt einen geschlossenen Weg über die restlichen Kanten des Hyperwürfels, der jede verbleibende Ecke genau einmal durchläuft?
    • Gibt es jetzt einen geschlossenen Weg, der jede verbleibende Kante des Hyperwürfels genau einmal durchläuft?
Ähnliche Aufgaben könnte man z.B. auch für dreidimensionale Figuren, wie etwa die Platonischen Körper Tetraeder, Würfel (auch Hexaeder genannt), Oktaeder, Dodekaeder oder Ikosaeder, aber auch für andere vierdimensionale Polytope lösen.
Das vierdimensionale Analogon des Tetraeders ist das 5-Zell. Es hat fünf Ecken und sein Rand besteht aus fünf Tetraedern.
Das vierdimensionale Analogon des Oktaeders wird als 16-Zell oder Hyperoktaeder bezeichnet. Seine acht Ecken stimmen mit den Mittelpunkten der acht Randwürfel eines Hyperwürfels überein.
  • Welches Verhältnis besteht zwischen den vierdimensionalen Volumen eines Hyperwürfels und des Hyperoktaeders, dessen Ecken die Mittelpunkte der Randwürfel dieses Hyperwürfels sind?

Die weiteren vierdimensionalen regelmäßigen Polytope sind das 24-Zell, dessen Rand aus 24 Oktaedern, 96 Dreiecken, 96 Kanten und 24 Ecken besteht, das 120-Zell, dessen Rand aus 120 Dodekaedern, 720 Fünfecken, 1200 Kanten und 600 Ecken besteht und das 600-Zell, dessen Rand aus 600 Tetraedern, 1200 Dreiecken, 720 Kanten und 120 Ecken besteht.
In höheren Dimensionen (also ab Dimension fünf) gibt es Analoga von Tetraeder, Würfel und Oktaeder, jedoch keine weiteren regulären Polytope.
Die Formelsprache der Mathematik erlaubt es, solche Figuren auch in höherdimensionalen Räumen, ja sogar in unendlichdimensionalen Räumen zu betrachten und ihre Eigenschaften zu studieren.

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Quellen / Fußnoten:[1] Harold Scott MacDonald Coxeter. Regular Polytopes, Third edition. Dover Publications, Inc., New York, 1973.

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