Robert Sedgewick: Algorithmen

[ Inhaltsverzeichnis ] [ vorhergehende Seite ] [ nächste Seite ] [ Stichwort ]


39. Integration



Die Berechnung des Integrals ist eine fundamentale analytische Operation, die oft für auf Computern bearbeiteten Funktionen ausgeführt wird. Wir möchten die »Fläche unter der Kurve« effizient und mit einer sinnvollen Genauigkeit finden. Im vorliegenden Kapitel betrachten wir eine Reihe klassischer Algorithmen für die Lösung dieses grundlegenden numerischen Problems.

Zuerst wollen wir kurz die Situation erörtern, wo eine explizite Darstellung der Funktion zur Verfügung steht. In solchen Fällen kann es möglich sein, eine symbolische Integration auszuführen, um die Darstellung einer Funktion in eine entsprechende Darstellung des Integrals umzuwandeln. Dies ist zweckmäßig, wenn die zu verarbeitenden Funktionen einer beschränkten Klasse von Funktionen angehören, deren Integrale analytisch berechnet werden können, oder im Zusammenhang mit Systemen, die solche Darstellungen von Funktionen verarbeiten.

Der andere Extremfall ist, daß die Funktion durch eine Tabelle definiert ist, so daß die Funktionswerte nur für wenige Punkte bekannt sind. In einem solchen Fall läßt sich für das Integral nur ein Näherungswert angeben, der auf Vermutungen bezüglich des Verhaltens der Funktion zwischen den Punkten beruht. Die Genauigkeit des Integrals ist nahezu vollständig von der Richtigkeit dieser Annahmen abhängig.

Die am häufigsten vorliegende Situation liegt zwischen diesen Extremen: Die zu integrierende Funktion ist derart dargestellt, daß ihr Wert in jedem beliebigen Punkt berechnet werden kann. Auch dann hängt die Genauigkeit des Integrals wieder von den Annahmen bezüglich des Verhaltens der Funktion zwischen den wie auch immer für die Berechnung gewählten Punkten ab. Das Ziel besteht darin, eine sinnvolle Näherung für das Integral der Funktion zu berechnen, ohne eine übermäßig große Anzahl von Berechnungen von Funktionswerten auszuführen. Diese Aufgabe wird oft als Quadratur bezeichnet.

Im vorliegenden Kapitel betrachten wir verschiedene Quadraturverfahren. Die Verfahren sind elementar; unser Ziel ist es, eine gewisse Erfahrung mit derartigen Berechnungen, die elementare numerische Verfahren darstellen, zu erwerben. Für viele Anwendungsfälle kann die richtige Anwendung der von uns betrachteten elementaren Methoden tatsächlich von Nutzen sein, doch Verfahren zur Lösung schwierigerer Probleme, insbesondere die numerische Lösung von Differentialgleichungen, sind in der Praxis von weit größerer Bedeutung.


[ Inhaltsverzeichnis ] [ vorhergehende Seite ] [ nächste Seite ] [ Stichwort ]