Robert Sedgewick: Algorithmen

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39. Integration



Übungen

  1. Erstellen Sie ein Programm für die symbolische Integration (und Differentiation) von Polynomen in x und ln x. Verwenden Sie eine rekursive Implementation, die auf der partiellen Integration beruht.
  2. Welche Quadraturmethode dürfte die beste Lösung für die Integration der folgenden Funktionen liefern: f(x) = 5x, f(x) = (3 - x)(4 + x), f(x) = sin(x)?
  3. Geben Sie das Ergebnis aller vier elementaren Quadraturmethoden (Rechteck-, Trapez-, Simpson-, Spline-Methode) bei der Integration von y = 1/x im Intervall [0,1; 10] an.
  4. Lösen Sie die vorangegangene Aufgabe für die Funktion y = sin x.
  5. Erläutern Sie, was geschieht, wenn eine adaptive Quadratur angewandt wird, um die Funktion y = 1/x im Intervall [-1, 2] zu integrieren.
  6. Beantworten Sie die gleiche Frage für die elementaren Quadraturmethoden.
  7. Geben Sie die Punkte an, in denen die Funktionswerte berechnet werden, wenn eine adaptive Quadratur angewandt wird, um die Funktion y = 1/x im Intervall [0,1; 10] mit einer Toleranz von 0,1 zu integrieren.
  8. Vergleichen Sie die Genauigkeit einer auf der Simpson-Methode beruhenden adaptiven Quadratur mit einer auf der Rechteckmethode beruhenden Quadratur für das in der vorangegangenen Aufgabe angegebene Integral.
  9. Beantworten Sie die gleiche Frage für die Funktion y = sin x.
  10. Geben Sie ein konkretes Beispiel einer Funktion an, für die eine adaptive Quadratur ein erheblich genaueres Ergebnis liefern würde als die anderen Methoden.


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