Operatorenrechnung

Laplace-, Fourier- und Z-Transformation
von Prof. Dr. Friedmar Stopp

5. Auflage. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig 1992
ISBN 3-8154-2030-X, DM 19.80

Inhalt

1 Einführung
1.1 Beispiel und historische Bemerkungen
1.2 Transformationen und Operatoren
1.3 Anwendungsmöglichkeiten

2 Laplace-Transformation
2.1 Definition der Laplace-Transformation
2.1.1 Definition und Beispiele
2.1.2 Motivation der Definition
2.1.3 Zwei Klassen von Originalfunktionen  f(t)
2.1.4  Eindeutigkeit der Laplace-Transformation
2.1.5 Aufgaben: Bestimmung von Bildfunktionen
2.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation
2.2.1 Additionssatz
2.2.2 Lineare Substitution der Veränderlichen
2.2.3 Faltungssatz
2.2.4 Differentiationssatz
2.2.5 Weitere Rechenregeln
2.2.6 Transformation periodischer Funktionen
2.2.7 Übersicht über die Rechenregeln
2.2.8 Aufgaben: Anwendung der Rechenregeln
2.3 Eigenschaften einer Laplace-Transformierten
2.3.1 Sätze für Laplace-Transformierte F(p)
2.3.2 Parsevalsche Gleichung
2.3.3 Aufgaben: Eigenschaften einer Laplace-Transformierten
2.4 Umkehrung der Laplace-Transformation
2.4.1 Rücktransformation rationaler Bildfunktionen
a) Partialbruchzerlegung rationaler Bildfunktionen F(p)
b) Rücktransformation im allgemeinen Fall
c) Rücktransformation bei einfachen Nullstellen des Nenners
2.4.2 Rücktransformation mittels Rechenregeln und Tabelle 1
2.4.3 Rücktransformation durch Reihenentwicklung
2.4.4 Die komplexe Umkehrformel
2.4.5 Aufgaben: Bestimmung von Originalfunktionen
2.5 Asymptotische Eigenschaften
2.5.1 Asymptotische Darstellung und Entwicklung
2.5.2 Asymptotische Eigenschaften der Laplace-Transformation
2.5.3 Asymptotische Eigenschaften der Rücktransformation
2.5.4 Stabilität der Originalfunktion
2.5.5 Aufgaben: Anwendung asymptotischer Formeln

3 Anwendungen der Laplace-Transformation
3.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
3.1.1 Anfangswertaufgaben
a) f(t)  besitzt eine rationale Bildfunktion
b)  f(t)  ist für  t > 0 stetig bis auf isoliert liegende Sprungstellen
3.1.2 Spezielle rechte Seiten f(t)
a) Sprungfunktion  f(t) = u(t), Übergangsfunktion  gu(t)
b) Funktion  f(t) = e^jwt , Frequenzgang Q(jw)
c) Diracsche Delta-Funktion d(t)
d) Impulsantwort gd(t)
e) Übersicht
3.1.3 Aufgaben: Lösung linearer Differentialgleichungen
3.2 Systeme linearer Differentialgleichungen
3.2.1 Normale Systeme
a) Alle  fi(t)  besitzen rationale Bildfunktionen  F(p)
b) Die fi(t) sind für t > 0 stetig bis auf isoliert liegende Sprungstellen
3.2.2 Entartete Systeme
3.2.3 Aufgaben: Lösung von Systemen
3.3 Partielle Differentialgleichungen mit zwei Veränderlichen
3.3.1 Beispiele zu den Grundtypen
3.3.2 Ein Beispiel aus der Physik
3.4 Andere Anwendungen
3.4.1 Lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten
3.4.2 Integralgleichungen vom Faltungstyp
3.4.3 Übersicht der behandelbaren Gleichungstypen
3.4.4 Aufgaben: Verschiedene Gleichungstypen

4 Moderne Operatorenrechnung
4.1 Ringe und Körper
4.1.1 Ringe und Nullteiler
4.1.2 Körper und Division
4.2 Mikusinskischer Operatorenkörper  K
4.2.1 Funktionenring  R
4.2.2  Operatorenkörper  K
4.2.3 Einfache Operatoren
4.2.4 Hauptformel der Operatorenrechnung
4.2.5 Aufgaben: Rechnen im Ring R und Körper K
4.3 Spezielle Operatoren
4.3.1 In  p rationale Operatoren
4.3.2 Verschiebungsoperator
4.3.3 Distributionen und verallgemeinerte Laplace-Transformation
4.3.4 Weitere Operatoren
4.4 Anwendungen und Aufgaben zur Operatorenrechnung

5 Fourier-Transformation
5.1 Definition der Fourier-Transformation
5.1.1 Definition und Beispiele
5.1.2 Fourier-, Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Transformation
5.1.3  Fourier- und Laplace-Transformation
5.1.4 Aufgaben: Bestimmung von Fourier-Transformierten
5.2 Umkehrung der Fourier-Transformation
5.3 Rechenregeln der Fourier-Transformation
5.3.1 Zusammenstellung der Rechenregeln
5.3.2 Beispiele zur Anwendung der Rechenregeln
5.3.3 Aufgaben: Anwendung der Rechenregeln
5.4 Anwendung der Fourier-Transformation
5.4.1 Lösung einer partiellen Differentialgleichung
5.4.2 Abtasttheorem

6 Z-Transformation
6.1 Diskrete Funktionen
6.1.1 Deutung diskreter Funktionen
6.1.2 Rechnen mit diskreten Funktionen
6.1.3 Eine Differenzengleichung
6.2 Definition der Z-Transformation
6.3  Wichtige Eigenschaften der Z-Transformation
6.3.1 Konvergenzgebiet der Bildfunktion  F(z)
6.3.2 Eineindeutigkeit der Z-Transformation
6.4 Rechenregeln der Z-Transformation
6.4.1 Zusammenstellung der Rechenregeln
6.4.2 Beispiele zur Anwendung der Rechenregeln
6.4.3 Aufgaben: Bestimmung von Bildfunktionen
6.5 Umkehrung der Z-Transformation
6.5.1 Möglichkeiten der Rücktransformation
6.5.2 Aufgaben: Bestimmung von Originalfolgen
6.6 Lineare Differenzengleichungen
6.6.1 Lösungsprinzip für Differenzengleichungen
6.6.2 Beispiele zur Lösung von Differenzengleichungen
6.7 Weitere Eigenschaften der Z-Transformation
6.8 Verschieden Anwendungen
6.8.1 Beispiele
6.8.2 Aufgaben: Anwendung der Z-Transformation
6.9 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation

Lösungen der Aufgaben

Tabelle 1: Laplace-Transformation
Tabelle 2: Fourier-Transformation
Tabelle 3: Z-Transformation
Tabelle 4: Übersicht

Literatur

Namen- und Sachregister


Maintainer
stopp@imn.htwk-leipzig.de; 21. Feb 1999
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