Logarithmen

Taylor-Entwicklung

log(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 -...

konvergiert viel zu langsam für x = 1 und gar nicht für größere x.

Trick (alt, J.R. Young, 1835, zitiert in: v. Mangoldt/Knopp, Bd. 2, S. 127)

betrachte log${\frac{{16}}{{15}}}$, log${\frac{{25}}{{24}}}$, log${\frac{{81}}{{80}}}$

a = log(16/15) = 4 log 2 - 1 log 3 - log 5,

b = log(25/24) = ...

c = log(81/80) = ...

Umstellung ergibt log 2 = 7a + 5b + 3c,...

Aufgaben:

• alle Koeffizienten ausrechnen
• wie genau sind die Werte für log 2 usw., wenn man nur die erste Näherung benutzt, also log(1 + x) $\approx$ x
• woher bekommt man geeignete Brüche (z. B. für log 7)?