Gleichungstheoreme und induktive Th.

Bsp. E = {P(Z, y) $\approx$ y, P(S(x), y) $\approx$ S(P(x, y))} .

Gilt E $\models$ P(x, y) $\approx$ P(y, x) ?

Nein. Betrachte Modell A für E über $\mathbb {N}$ :     [Z] = 0,

[S](x) = if 2| x then 2 + x else 1

[P](x, y) = if 2| x then x + y else 1

A $\not\models$P(x, y) $\approx$ P(y, x) , betrachte α = {(x, 2),(y, 1)} .

Nach Satz von Birkhoff folgt P(x, y) $\not\approx$_EP(y, x) .

Beachte: ¬∃t∈Term(Σ,∅) : [t]_A = 1 .

Für alle s, t∈Term(Σ,∅) gilt P(s, t) $\approx_{E}^{}$ P(t, s) .

Sprechweise: P(x, y) $\approx$ P(y, x) ist ein induktives Theorem in E (aber kein Gleichungs-Theorem)