Euklidische Ringe

• Def: (R,|⋅|) ist Euklidischer Ring, falls |⋅| : R $\setminus$ {0}→$\mathbb {N}$

  und ∀a, b∈R : b≠0⇒∃q, r : a = b⋅q + r∧| r| < | b| .

• Beispiele: ($\mathbb {Z}$,|⋅|) , ($\mathbb {Q}$[X], deg) .

  (Pol. in mehreren Variablen nicht, ⇒ Gröbnerbasen)

• Def: Euklidischer Algorithmus: (a, b)→(b, r)→...→(g, 0) .

• Lemma: ...terminiert und 〈g〉 = 〈a, b〉 .

• Satz: (R,|⋅|) ist Euklidischer Ring ⇒ R ist Hauptidealring.

Beweis:

• Sei I Ideal in R . Zu konstruieren ist e mit I = 〈e〉 .

• Wähle e∈I $\setminus$ {0} minimal bzgl. |⋅| . Zeige: I = 〈e〉 .
• Falls f∈I $\setminus$ 〈e〉 , dann betrachte Euklid (f, e) $\mapsto$ g .
• g∈〈f, e〉⊆I .
• Weil e minimal in I , gilt 〈g〉 = 〈e〉 und f∈〈e〉 .