Polynomgleichungen über $\mathbb {R}$ mathend000#

• jedes Polynom von ungeradem Grad besitzt wenigstens eine reelle Nullstelle (folgt aus Stetigkeit)
• ...diese ist für Grad > 4 mathend000# nicht immer durch Wurzelausdrücke darstellbar (folgt aus Galois-Theorie)

...trotzdem kann man reelle Nullstellen zählen!

• Sturmsche Kette: p₀ = P, p₁ = P', p_i+2 = - rem(p_i, p_i+1) mathend000#
• σ(P, x) : = mathend000# Anzahl der Vorzeichenwechsel in [p₀(x), p₁(x),…] mathend000#
• Satz: |{x | P(x) = 0∧a < x≤b}| = σ(P, a) - σ(P, b) mathend000#