\begin{slide}{Polynomgleichungen über $\RR$}

  \begin{itemize}
  \item
    jedes Polynom von ungeradem Grad besitzt
    wenigstens eine reelle Nullstelle  (folgt aus Stetigkeit)
  \item \dots diese ist für Grad $>4$ nicht immer
    durch Wurzelausdrücke darstellbar    (folgt aus Galois-Theorie)
  \end{itemize}
 \dots trotzdem kann man reelle Nullstellen  \emph{zählen}!

 \begin{itemize}
 \item 
Sturmsche Kette: $p_0=P,  p_1=P', p_{i+2}= -\operatorname{rem}(p_i,p_{i+1})$
\item
$\sigma(P,x) :=$ Anzahl der Vorzeichenwechsel in $[p_0(x),p_1(x),\ldots]$
\item
Satz: $ |\{ x \mid P(x)=0 \wedge a < x \le b \}| = \sigma(P,a)-\sigma(P,b)$
 \end{itemize}

\end{slide}
