
\newcommand{\Bool}{\mathbb{B}}
\newcommand{\val}{\operatorname{val}}
\newcommand{\Mod}{\operatorname{Mod}}

\begin{slide}{Aussagenlogik: Semantik}

  \begin{itemize} \itemsep 0pt
  \item Wertebereich $\Bool=\{0,1\}$, Halbring $(\Bool,\vee,\wedge,0,1)$

    Übung: weitere Halbringe mit 2 Elementen?
  \item \emph{Belegung} ist Abbildung $b: V \to \Bool$
  \item \emph{Wert} einer Formel $F$ unter Belegung $b$: $\val(F,b)$ 
  \item wenn $\val(F,b)=1$, dann ist $b$ ein \emph{Modell} von $F$,
    Schreibweise: $b \models F$
  \item \emph{Modellmenge} $\Mod(F)=\{b \mid b\models F\}$
  \item $F$ \emph{erfüllbar}, wenn $\Mod(F)\neq\emptyset$

  \item Modellmenge einer \emph{Formelmenge}:
    $\Mod(M) = \{ b \mid \forall F \in M: b\models F\}$

  \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}{Der Folgerungsbegriff}

eine Formel $F$ \emph{folgt aus} einer Formelmenge $M$:
\begin{itemize}
\item     Notation: $M\models F$, 
\quad     Definition:    $\Mod(M)\subseteq \Mod(F)$
\end{itemize}

Beispiele/Übung (beweise!)
\begin{itemize}\itemsep 0pt
\item $\{x, \neg y\} \models x \vee y$
\item $\forall M: 
  (\Mod(M)=\emptyset) \iff (\forall F:  M\models F)$.

(aus einer widersprüchlichen Formelmenge
  folgt jede Formel)
\item $\forall M, F: 
(M\models F) \iff (\Mod(M) = \Mod(M\cup\{F\}))$

(Hinzunahme einer Folgerung ändert die Modellmenge nicht)
\end{itemize}




\end{slide}
