\newcommand{\Th}{\operatorname{Th}}

\begin{slide}{Motivation, Definition}

Interpretation $\models$ Formel,

Interpretation $=$ (Struktur, Belegung)

Die \emph{Theorie} $\Th(S)$ einer Struktur $S$ 
ist Menge aller in $S$ wahren Formeln:
$\Th(S)=\{F \mid \forall b: (S,b) \models F \}$

Beispiel 1: Formel \( a \cdot b = b \cdot a \)
gehört zur $\Th(\text{$\NN$ mit Multipl.})$,
aber nicht zu $\Th(\text{Matrizen über $\NN$ mit Multipl.})$.

Beispiel 2: Formel
\[
(\forall x: g(g(x))=x \wedge g(h(x))=x)
\rightarrow (\forall x: h(g(x))= x)
\]
gehört zu \emph{jeder} Theorie (mit passender Signatur),

weil sie zur Theorie der \emph{freien Termalgebra}  gehört.
\end{slide}
