Test-Testat 2. 11.

  1. Bestimmen Sie die Zahl y = tan$ \beta$ mit tan(4$ \alpha$ + $ \beta$) = 1 für x = tan$ \alpha$ = 1/5.
  2. Für jede Zahl n$ \ge$2:

    Die Matrix A der Form n×n enthält auf der Hauptdiagonale immer die 2 und auf den beiden ersten Nebendiagonalen immer die -1.

    Das erhält man in Mupad einfach so:

    matrix(n,n,[-1,2,-1],Banded)
    
    und ausführlich so:
    A := n -> matrix (n,n, (i,j) -> 
       if i = j then 2 
       else if i = j-1 or i = j + 1 then -1 else 0 end_if 
       end_if  )
    
    Beschreiben Sie die Inverse B von A durch ein ähnliches Programm! D. h. A(n)*B(n) soll immer die Einheitsmatrix ergeben.

  3. Beweisen Sie, daß alle Eigenwerte von A positiv sind. (Quelle: Berkeley Problems in Mathematics, Spring 1990, Problem 12, http://math.berkeley.edu/~desouza/pb.html)

    Bemerkung 1: Die Matrix ist symmetrisch, also sind die Eigenwerte reell.

    Bemerkung 2: mit linalg::eigenvalues sehen Sie, daß Mupad das nicht immer merkt. Wir rechnen aber anders:

    Wenn der Spaltenvektor xT ein Eigenvektor von A zum Eigenwert $ \lambda$ ist, dann gilt nach Definition AxT = $ \lambda$xT. Betrachten Sie x . A . xT.

    Einen geeigneten Vektor erhalten Sie mit

    X := n -> matrix([[x.i $ i = 1 .. n ]])
    

  4. Berechnen Sie mit numeric::eigenvalues einige Werte. Für welche n sind die Zahlen 1, 2, 3, 4 Eigenwerte? Können Sie das beweisen?

Johannes Waldmann 2007-01-30