Quadratwurzeln

Wie bestimmt man schnell viele Ziffern von $\sqrt{{2}}$?

Idee: Potenzreihe (Satz von Taylor)

f (x₀ + d ) $$\approx$$ $$\sum_{{n\ge 0}}^{}$$$${\frac{{f^{(n)}(x_0)}}{{n!}}}$$dⁿ

$$\sqrt{(}$$1 + d )= 1 + d /2 - d²/8 + 5d³/2⁴ +5d⁴/2⁷ - ...

konvergiert aber zu langsam für d = 1

Trick: 5²*2 $\approx$ 7², also

$\sqrt{{2}}$ = 7/5 ^. $\sqrt{(}$1 + 1/49)

(Aufgabe: für $\sqrt{{3}}$)

(wo kommen diese Brüche her? Kettenbrüche!)