Gröbnerbasen

die eben definierte Relation $\to_{F}^{}$ ist nicht notwendig konfluent.

Beispiel (8.2.10 aus Baader/Nipkow) F = {f₁, f₂} mit f₁ = x²y - x², f₂ = xy² - y². Ordnung > auf Monomen: erst nach Exponentensumme, dann lexikografisch.

x²y²$\to_{{f_1}}^{}$x²y² - y ^. f₁ = x²y$\to_{{f_1}}^{}$x²y - 1 ^. f₁ = x² und x²y²$\to_{{f_2}}^{}$?$\to_{{f_2}}^{}$y². Beides sind Normalformen, also $\to_{F}^{}$ nicht konfluent.

Definition: eine endliche Menge G von Polynomen heißt Gröbnerbasis für ein Polynomideal I, falls Ideal(G) = I und $\to_{G}^{}$ konfluent.

Nicht-Beispiel (Fortsetzung) F ist keine Gröbnerbasis.