Organisatorisches

Ablauf Lehrveranstaltung und Prüfung

Quellen

Übungen KW 15 (vor Vorlesung)

Einleitung

Programmierung im Studium bisher

Worin besteht jetzt der Fortschritt?

Formen der deklarativen Programmierung

Definition: Funktionale Programmierung

Softwaretechnische Vorteile

…der funktionalen Programmierung

Beispiel Spezifikation/Test

import Test.LeanCheck

append :: forall t . [t] -> [t] -> [t]
append [] y = y
append (h : t) y = h : (append t y)

associative f = 
   \ x y z -> f x (f y z) == f (f x y) z
commutative f = \ x y -> ...

test = check
  (associative (append::[Bool]->[Bool]->[Bool]))

Übung: Kommutativität (formulieren und testen)

Beispiel Verifikation

app :: forall t . [t] -> [t] -> [t]
app [] y = y
app (h : t) y = h : (app t y)

Lemma: app x (app y z) .=. app (app x y) z

Proof by induction on List x
  Case []
    To show: app [] (app y z) .=. app (app [] y) z
  Case h:t
    To show: app (h:t) (app y z) .=. app (app (h:t) y) z
    IH: app t (app y z) .=. app (app t y) z

CYP https://github.com/noschinl/cyp,

ist vereinfachte Version
von Isabelle https://isabelle.in.tum.de/

Beispiel Parallelisierung (Haskell)

-- Länge der Collatz-Folge
collatz :: Int -> Int
collatz x = if x <= 1 then 0
  else 1 + collatz (if even x then div x 2 else 3*x+1)
-- Summe der Längen
main :: IO ()
main = print $ sum
    $ map collatz [1 .. 10^7]

wird parallelisiert durch Strategie-Annotation:

import Control.Parallel.Strategies
...
main = print $ sum
  $ withStrategy (parListChunk (10^5) rseq)
  $ map collatz [1 .. 10^7]

Beispiel Parallelisierung (C#, PLINQ)

vgl. Introduction to PLINQ

https://msdn.microsoft.com/en-us/library/dd997425(v=vs.110).aspx

Softwaretechnische Vorteile

…der statischen Typisierung

The language in which you write profoundly affects the design of programs written in that language.

For example, in the OO world, many people use UML to sketch a design. In Haskell or ML, one writes type signatures instead. Much of the initial design phase of a functional program consists of writing type definitions.

Unlike UML, though, all this design is incorporated in the final product, and is machine-checked throughout.

Simon Peyton Jones, in: Masterminds of Programing, 2009;

http://shop.oreilly.com/product/9780596515171.do

Deklarative Programmierung in der Lehre

Beziehungen zu weiteren LV: Voraussetzungen

Anwendungen:

Konzepte und Sprachen

Funktionale Programmierung ist ein Konzept. Realisierungen:

Die Erkenntnisse sind sprachunabhängig.

Gliederung der Vorlesung

Anwendungen dieser Konzepte

Literatur (allgemein)

Literatur (speziell diese VL)

Alternative Quellen

Organisation der LV

Übungen

Aufgaben (allgemeines)

Aufgaben

SS 24: Aufgabe 1

  1. Digitale Selbstverteidigung

    1. Welche Daten gibt Ihr Browser preis?

      Starten Sie in einer Konsole den Befehl ncat --listen --source-port 9999

      (Konsole soll sichtbar bleiben)

      Rufen Sie im Browser die Adresse http://localhost:9999 auf, beobachten Sie die Ausgabe in der Konsole.

      Wie (personen)spezifisch ist diese Information?

    2. Wie können weitere Informationen extrahiert werden? Verwenden Sie https://www.eff.org/press/releases/test-your-online-privacy-protection-effs-panopticlick (Electronic Frontier Foundation, 2015–)

    3. Stellen Sie Firefox datenschutzgerecht ein. (Das beginnt mit der Default-Startseite!)

      Zeigen Sie die Benutzung von temporary containers, von Profilen (z.B. ein Profil für Browsing im Screen-Share).

      Führen Sie Browser-Plugins uMatrix, uBlockOrigin vor.

  2. zu: E. W. Dijkstra: Answers to Questions from Students of Software Engineering (Austin, 2000) (EWD 1035)

    • putting the cart before the horse

      • übersetzen Sie wörtlich ins Deutsche,

      • geben Sie eine entsprechende idiomatische Redewendung in Ihrer Muttersprache an,

      • wofür stehen cart und horse hier konkret?

  3. sind die empfohlenen exakten Techniken der Programmierung für große Systeme anwendbar?

    Erklären Sie lengths of …grow not much more than linear with the lengths of ….

    • Welche Längen werden hier verglichen?

    Modellieren Sie das System als Graph, die Knoten sind die Komponenten, die Kanten sind deren Beziehungen (direkte Abhängigkeiten).

    • Welches asymptotische Wachstum ist bei undisziplinierter Entwicklung des Systems zu befürchten?

    • Welche Graph-Eigenschaft impliziert den linearen Zusammenhang?

    • Wie gestaltet man den System-Entwurf, so daß diese Eigenschaft tatsächlich gilt? Welchen Nutzen hat das für Entwicklung und Wartung?

  4. Über ein Monoid \((M,\circ, 1)\) mit Elementen \(a, b\in M\) (sowie eventuell weiteren) ist bekannt: \(a^2= b^2 = (ab)^2 = 1\).

    Dabei ist \(ab\) eine Abkürzung für \(a\circ b\) und \(a^2\) für \(aa\), usw.

    • Geben Sie ein Modell mit \(1\neq a\neq b\neq 1\) an.

    • Überprüfen Sie \(ab = ba\) in Ihrem Modell.

    • Leiten Sie \(ab=ba\) aus den Monoid-Axiomen und gegebenen Gleichungen ab.

    Das ist eine Übung zur Wiederholung der Konzepte abstrakter und konkreter Datentyp sowie Spezifikation.

  5. im Rechnerpool live vorführen:

    • ein Terminal öffnen

    • ghci starten (in der aktuellen Version), Fakultät von 100 ausrechnen

    • Datei F.hs mit Texteditor anlegen und öffnen, Quelltext f = ... (Ausdruck mit Wert 100!) schreiben, diese Datei in ghci laden, f auswerten

    Dabei wg. Projektion an die Wand:

    Schrift 1. groß genug und 2. schwarz auf weiß.

    Vorher Bildschirm(hintergrund) aufräumen, so daß bei Projektion keine personenbezogenen Daten sichtbar werden. Beispiel: export PS1="$ " ändert den Shell-Prompt (versteckt den Benutzernamen).

    Wer eigenen Rechner im Pool benutzt:

    • Aufgaben wie oben und

    • ssh-Login auf einen Rechner des Pools

      (damit wird die Ausrede GHC (usw.) geht auf meinem Rechner nicht hinfällig)

    • ssh-Login oder remote-Desktop-Zugriff von einem Rechner des Pools auf Ihren Rechner (damit das projiziert werden kann, ohne den Beamer umzustöpseln)

    (falls das alles zu umständlich ist, dann eben doch einen Pool-Rechner benutzen)

  6. welcher Typ ist zu erwarten für die Funktion,

    • (wurde bereits in der Übung behandlelt) die das Spiegelbild einer Zeichenkette berechnet?

    • die die Liste aller (durch Leerzeichen getrennten) Wörter einer Zeichenkette berechnet?

      f "foo bar" = [ "foo", "bar" ]

    Suchen Sie nach Funktionen dieses Typs mit https://www.haskell.org/hoogle/, erklären Sie einige der Resultate, welches davon ist das passende, rufen Sie diese Funktion auf (in ghci).

Daten

Wiederholung: Terme

Beispiele: Signatur, Terme

Abmessungen von Termen

Induktion über Termaufbau (Beispiel)

Algebraische Datentypen (benannte Notation)

Algebraische Datentypen (positionelle Not.)

Datentyp mit mehreren Konstruktoren

Mehrsortige Signaturen

Bsp.: \(S=\{Z,B\}, \Sigma=\{0 \mapsto ([],Z), p \mapsto ([Z,Z],Z),\) \(e\mapsto ([Z,Z],B), a\mapsto([B,B],B)\}\).

Rekursive Datentypen

Daten mit Baum-Struktur

Übung Terme

Hausaufgaben

SS 24: Aufgaben 2, 3, 4.

  1. autotool-Aufgabe 15-2

    Allgemeine Hinweise zur Bearbeitung von Haskell-Lückentext-Aufgaben in autotool:

    • Schreiben Sie den angezeigten Quelltext (vollständig! ohne zusätzliche Leerzeichen am Zeilenanfang!) in eine Datei mit Endung .hs, starten Sie ghci mit diesem Dateinamen als Argument

    • ändern Sie den Quelltext: ersetzen Sie undefined durch einen geeigneten Ausdruck, hier z.B.

      solution = S.fromList [ False, G ]

      im Editor speichern, in ghci neu laden (:r)

    • reparieren Sie Typfehler, werten Sie geeignete Terme aus, hier z.B. S.size solution

    • werten Sie test aus, wenn test den Wert True ergibt, dann tragen Sie die Lösung in autotool ein.

  2. Geben Sie einen Typ \(T\) (eine data-Deklaration) an, der alle Terme der einsortigen Signatur \(\Sigma=\{E/0, F/2, G/3\}\) enthält.

    Konstruieren Sie Elemente dieses Typs.

    Geben Sie \(t\in\operatorname{Term}(\Sigma)\) an mit

    • \(\operatorname{\textsf {height}}(t)=2\) und \(|t|\) möglichst klein

    • \(\operatorname{\textsf {height}}(t)=2\) und \(|t|\) möglichst groß

    Allgemeine Hinweise zu Arbeit und Präsentation im Pool:

    • beachten Sie https://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/etc/pool/ (PATH und ggf. LD_LIBRARY_PATH)

    • Freigabe (für Dozenten-Rechner) mit krfb, Einmalpaßwort

    • Schrift schwarz auf weiß! Vernünftige Schriftgröße (Control-Plus)!! Gleichzeitig sichtbar (d. h.: keine Verdeckungen, Umschaltungen): Aufgabenstellung, Programmtext, Ausgabe/Fehlermeldungen. Wenn der Desktop-Hintergrund sichtbar ist—wurde Platz verschenkt!!!

  3. Geben Sie einen Typ (eine data-Deklaration) mit genau 71 Elementen an. Sie können weitere Data-Deklarationen benutzen. Minimieren Sie die Gesamt-Anzahl der Konstruktoren.

    Bsp:

    data Bool = False | True ; data T = X Bool Bool

    dieses T hat 4 Elemente, 3 Konstruktoren (False,True,X)

  4. Beweisen Sie \(\forall \Sigma: \forall t\in\operatorname{Term}(\Sigma): \operatorname{\textsf {height}}(t) \le |t|-1\).

    durch Induktion über den Term-Aufbau.

    • Induktions-Anfang: \(t=f()\) (nullstelliges Symbol \(f\))

    • Induktions-Schritt:

      \(t=f(t_1,\dots,t_k)\) (\(k\)-stelliges Symbol \(f\), für \(k>0\))

      dabei Induktions-Voraussetzung: die Behauptung gilt für \(t_1,\ldots,t_k\).

      Induktions-Behauptung: …für \(t\).

    Für welche Terme \(t\) gilt Gleichheit? Wo sieht man das im Beweis?

  5. wieviele Elemente des Datentyps data T = L | B T T haben …

    • die Größe 9

    • die Größe \(\le 9\)

    • die Höhe \(0, 1, 2, 3, \dots, k, \dots\)

    Sie müssen diese Elemente nicht alle einzeln angeben.

    Bestimmen sie ihre Anzahl durch dynamische Programmierung (von Hand).

Aufgaben autotool

  1. Ersetzen Sie undefined, so daß der Ausdruck test den Wert True hat.

    module Blueprint where
import qualified Data.Set as S
-- aus Prelude importiert:
-- data Bool = False | True
data C = R | G | B deriving (Eq, Ord, Show)
data T = X C Bool | Y Bool | Z deriving (Eq, Ord, Show)
solution :: S.Set T
solution = S.fromList undefined
test :: Bool
test = S.size solution == 9

    Ansatz einer Lösung:

    solution = S.fromList [ X R False, Y True ]

  2. einen Term in einer mehrsortigen Signatur angeben (Programmiersprache: Java)

    Gesucht ist ein Ausdruck vom Typ int
in der Signatur
    Foo e;
    String g;
    static char a ( Bar x, String y, String z );
    static Bar b ( Foo x );
    static int c ( int x, String y );
    static int d ( char x, Foo y, String z );
    static Foo f ( int x );
    static String h ( Foo x, String y, char z );

    Lösungsansatz

    d (a (b (e), ...), ...)

Programme

Plan

Bezeichnungen für Teilterme

dabei bezeichnen:

Operationen mit (Teil)Termen

Operationen mit Variablen in Termen

Termersetzungssysteme

Termersetzungssysteme als Programme

dieses Berechnungsmodell ist im allgemeinen

Konstruktor-Systeme

Für TRS \(R\) über Signatur \(\Sigma\): Symbol \(s\in\Sigma\) heißt

Das TRS \(R\) heißt Konstruktor-TRS, falls:

Übung: diese Eigenschaft formal spezifizieren

Beispiele: \(R_1=\{a(b(x)) \to b(a(x))\}\) über \(\Sigma_1=\{a/1,b/1\}\),

\(R_2=\{f(f(x,y),z) \to f(x,f(y,z))\) über \(\Sigma_2=\{f/2\}\):

definierte Symbole? Konstruktoren? Konstruktor-System?

Funktionale Programme sind ähnlich zu Konstruktor-TRS.

Funktionale Programme (Bsp. und Vergleich)

Alternative Notation f. Gleichungssystem

Pattern Matching

data N = Z | S N ; data Bool = False | True
positive :: N -> Bool
positive x = case x of { Z -> False ; S x' -> True }

Eigenschaften von Case-Ausdrücken

ein case-Ausdruck heißt

Bespiele (für data T = A | B T | F T T)

data und case

typisches Vorgehen beim Verarbeiten algebraischer Daten vom Typ T:

Pattern Matching in versch. Sprachen

Rechnen mit Wahrheitswerten

Syntax für Unterprogramm-Aufrufe

Syntax für Fallunterscheidungen

Übung Term-Ersetzung

Für die Signatur \(\Sigma=\{f/1,g/3,c/0\}\):

Für die Signatur \(\Sigma=\{Z/0, S/1, f/2\}\):

Dabei wurde angewendet:

Abkürzung für Anwendung von 0-stelligen Symbolen: anstatt \(Z()\) schreibe \(Z\). (Vorsicht: dann kann man Variablen nicht mehr von 0-stelligen Symbolen unterscheiden. Man muß dann immer die Signatur explizit angeben oder auf andere Weise vereinbaren, wie man Variablen erkennt, z.B. Buchstaben am Ende das Alphabetes (\(\dots,x,y,\dots\)) sind Variablen, das ist aber riskant)

Übung Pattern Matching, Programme

Hausaufgaben

SS 24: Aufgaben 1, 4, 5

  1. Arithmetik auf Peano-Zahlen

    • Für \(R=\{ f(S(x),y) \to f(x, S(y)), f(Z,y) \to y\}\)

      bestimme alle \(R\)-Normalformen von \(f(S(Z), S(Z))\).

    • für \(R_d = R\cup\{ d(x)\to f(x,x) \}\)

      bestimme alle \(R_d\)-Normalformen von \(d(d(S(Z)))\).

    • Bestimme die Signatur \(\Sigma_d\) von \(R_d\).

      Bestimme die Menge der Terme aus \(\operatorname{Term}(\Sigma_d)\), die \(R_d\)-Normalformen sind.

    • Welche Rechenoperationen simulieren die Regeln für \(f\), für \(d\)?

    • welche Terme haben große Normalformen?

    • Zusatz: Geben Sie eine Funktion \(c:\NN\to\NN\) an, für die gilt: \(\forall n\in\NN: \forall t,t'\in\operatorname{Term}(\Sigma_d): |t|\le n\wedge t\to_{R_d}^* t' \Rightarrow |t'|\le c(n)\).

  2. Simulation von Wort-Ersetzung durch Term-Ersetzung.

    Abkürzung für mehrfache Anwendung eines einstelligen Symbols: \(A(A(A(A(x)))) = A^4(x)\)

    • für \(\{ A(B(x)) \to B(A(x)) \}\)

      über Signatur \(\{A/1, B/1, E/0\}\):

      bestimme Normalform von \(A^k (B^k (E))\)

      für \(k=1, 2, 3,\) allgemein.

    • für \(\{ A(B(x)) \to B(B(A(x))) \}\)

      über Signatur \(\{A/1, B/1, E/0\}\):

      bestimme Normalform von \(A^k (B (E))\)

      für \(k=1, 2, 3,\) allgemein.

  3. für die Signatur \(\{A/2, D/0\}\):

    • definiere Terme \(t_0=D, t_{i+1} = A(t_i, D)\).

      Zeichne \(t_3\). Bestimme \(|t_i|,\operatorname{depth}(t_i)\) .

    • für \(S=\{ A(A(D,x),y)\to A(x,A(x,y)) \}\)

      bestimme \(S\)-Normalform(en), soweit existieren, der Terme \(t_0, t_1, \dots, t_4\).

      Geben Sie für \(t_2\) die ersten Ersetzungs-Schritte explizit an.

    • Normalform von \(t_i\) allgemein.

  4. Für die Deklarationen

    -- data Bool = False | True   (aus Prelude)
data S = A Bool | B | C S S

    entscheide/bestimme für jeden der folgenden Ausdrücke:

    • syntaktisch korrekt?

    • Resultat-Typ (statische Semantik)

    • Resultat-Wert (dynamische Semantik)

    • Menge der Muster ist: disjunkt? vollständig?

    1. case False of { True -> B }
2. case False of { B -> True }
3. case C B B of { A x -> x }
4. case A True of { A x -> False }

5. case A True of { A x -> False ; True -> False }
6. case True of { False -> A ; True -> A False }
7. case True of { False -> B ; False -> A False }
8. case B of { C x y -> False; A x -> x; B -> True }

    weitere Beispiele selbst herstellen und dann in der Übung die anderen Teilnehmer fragen.

  5. für selbst definierte Wahrheitswerte: deklarieren, implementieren und testen Sie:

    • die zweistellige Antivalenz,

    • die Implikation,

    • die dreistellige Majoritätsfunktion.

    import qualified Prelude
data Bool = False | True deriving Prelude.Show
not :: ...
xor :: ...
...

    Definieren Sie die Majorität auf verschiedene Weisen

    • mit einer Gleichung (evtl. mit case, evtl. geschachtelt)

    • ohne case (evtl. mehrere Gleichungen)

    • mit einer Gleichung ohne Fallunterscheidung, mittels anderer (selbst definierter) Funktionen

  6. für binäre Bäume ohne Schlüssel

    data Tree = Leaf | Branch Tree Tree

    deklarieren, implementieren und testen Sie ein einstelliges Prädikat über solchen Bäumen, das genau dann wahr ist, wenn das Argument eine ungerade Anzahl von Blättern enthält.

    Diese Anzahl nicht ausrechnen, sondern direkt den Wahrheitswert!

Aufgaben autotool

  1. gesucht ist für das System
 TRS { variables = [ x, y, z ]
   , rules = 
     [ f ( f ( x, y ), z ) -> f ( x, f ( y, z ) )
     , f ( x, f ( y, z ) ) -> f ( f ( x, y ), z ) 
     ]   }
eine Folge von Schritten
von     f ( a, f ( f ( b, f ( c, d ) ), e ) )
nach    f ( f ( a, f ( b, c ) ), f ( d, e ) )

    Lösungs-Ansatz:

    ( f ( a, f ( f ( b, f ( c, d ) ), e ) )
, [ Step  { rule_number = 1  , position = [ ]
     , substitution = listToFM 
        [ (x, a), (z, e), (y, f (b, f (c, d))) ] 
     }                 ] )

Beweise

Motivation

Formale Beweise

CYP: Gleichungsketten

CYP: Fallunterscheidung

Peano-Zahlen

Spezifikation und Test

Bsp: Addition von Peano-Zahlen

Spezifikation und Verifikation

Beweis für: Addition von Peano-Zahlen ist assoziativ

Bezeichnungen in Beweisen durch Induktion

CYP: Induktion

Bsp. Programm-Konstruktion/Induktion

Induktion mit Generalisierung

Induktion über Bäume (IA)

Induktion über Bäume (IS)

Multiplikation von Peano-Zahlen

Minimum

Subtraktion

Hausaufgaben

SS 24: Aufgaben 2, 4 von hier sowie Aufgabe 4 aus Abschnitt Daten (\(\forall \Sigma:\forall t\in\operatorname{Term}(\Sigma):\operatorname{\textsf {height}}(t)\le |t|-1)\))

  1. Für die Funktion

    f :: N -> N 
f Z = Z ; f (S x) = S (S (f x))

    beweisen Sie (erst auf Papier, dann mit CYP)

    f (plus x y) = plus (f x) (f y)

    durch Induktion nach x.

    Papier: Verwenden Sie die angegebenen Bezeichnungen für die Beweis-Schritte, geben Sie IA, IV, IB explizit an.

  2. Die übliche Peano-Addition ist

    plus Z y = y ; plus (S x) y = S (plus x y)

    Eine andere Implementierung der Addition (vgl. früher angegebenes Termersetzungssystem) ist

    plus' Z y = y ; plus' (S x) y = plus' x (S y)

    Beweisen Sie mit Cyp

    forall x :: N, y :: N : plus' x y .=. plus x y

    Beweisen Sie dazu als Hilfssatz

    forall x :: N, y :: N : plus x (S y) .=. plus (S x) y

    In dieser Induktion nach \(x\) müssen Sie das andere Argument \(y\) generalisieren, da es zwischen Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung unterschiedlich ist.

  3. Implementieren Sie Peano-Multiplikation und -Potenz.

    Formulieren, testen (leancheck) und beweisen (Papier, CYP) Sie einige Eigenschaften.

    CYP: formulieren Sie ggf. Hilfssätze als Axiome, d.h., ohne Beweis—aber mit Tests.

  4. Für zweistelliges min (siehe Folie) und max auf \(\NN\):

    1. Geben Sie eine äquivalente vollständige Spezifikation an, die keine Fallunterscheidung benutzt, sondern nur Addition.

    2. Implementieren Sie min und max nur durch Addition und Subtraktion (\(\ominus\)).

    3. testen (optional: und beweisen) Sie, daß Ihre Implementierung die Spezifikation erfüllt

    4. Implementieren Sie nur mit min und max:

      • den Median von drei Argumenten

      • (optional) den Median von fünf Argumenten

      Geben Sie Tests an (optional: Beweis)

  5. für das TRS \(R=\{A(A(D,x),y)\to A(x,A(x,y))\}\) über der Signatur \(\Sigma=\{D/0,A/2\}\), vgl. frühere Aufgabe,

    1. die Menge (Folge) aller \(R\)-Normalformen ist \(N_0=D, N_1=A(D,N_0), \dots, N_{k+1}=A(D,N_k),\dots\).

      warum gibt es keine anderen \(R\)-Normalformen?

    2. Die \(R\)-Normalform von \(A(N_l,N_r)\) ist \(N_k\) mit \(k=2^l+r\).

      1. Geben Sie Beispiele an (auf Papier oder maschinell)

      2. beweisen Sie durch vollständige Induktion nach \(l\).

        (Auf Papier, aber mit korrekten Bezeichnungen.)

      3. welches sind die Terme (z.B.: der Größe 11) mit größter Normalform?

Aufgabe Autotool (Beispiel)

a :: T -> T
b :: T -> T
axiom E : forall x :: T : a(b(a(x))) .=. x
Lemma :
  forall x :: T : a(b(b(b(a(a(x)))))) .=. b(b(a(x)))
Proof by rewriting         a(b(b(b(a(a(x))))))
    (by E) .=. _
    (by E) .=. _
    ...
           .=. b(b(a(x)))
QED

Das ist ein Modell für schnittstellen-orientierte Programmierung. Der abstrakte Datentyp \(T\) besteht aus Signatur (\(\{a/1, b/1\}\)) und Axiom \(E\), es ist nichts bekannt über tatsächliche Implementierung.

Polymorphie

Definition, Motivation

Beispiele f. Typkonstruktoren (I)

Beispiele f. Typkonstruktoren (II)

Anwendung von Maybe

Polymorphe Funktionen

Bezeichnungen f. Polymorphie

data List e = Nil | Cons e (List e)

Operationen auf Listen (I)

data List a = Nil | Cons a (List a)

Von der Spezifikation zur Implementierung

Operationen auf Listen (II)

Operationen auf Bäumen

data List e = Nil | Cons e (List e)
data Bin e = Leaf | Branch (Bin e) e (Bin e)

Knotenreihenfolgen

Adressierug von Knoten (False \(=\) links, True \(=\) rechts)

Statische Typisierung und Polymorphie

Bsp. für Programm ohne statischen Typ

Nutzen der stat. Typisierung und Polymorphie

Konstruktion von Objekten eines Typs

Aufgabe (Bsp): x :: Either (Maybe ()) (Pair Bool ())

Lösung (Bsp):

Insgesamt x = Right y = Right (Pair False ())

Vorgehen (allgemein)

Bestimmung des Typs eines Bezeichners

Aufgabe (Bsp.) bestimme Typ von x (erstes Arg. von get):

at :: List N -> Tree a -> Maybe a
at p t = case t of
  Node f ts -> case p of
    Nil -> Just f
    Cons x p' -> case get x ts of
      Nothing -> Nothing
      Just t' -> at p' t'

Lösung:

Vorgehen zur Typbestimmung eines Namens:

Übung Polymorphie

Hausaufgaben

SS 24: für KW 19: 1, 2, 5; für KW 20 (Zusatz) 3, 6, 7.

  1. für die folgenden Datentypen: geben Sie einige Elemente an (ghci), geben Sie die Anzahl aller Elemente an.

    1. Maybe (Maybe Bool)

    2. Either (Bool, ()) (Maybe ())

    3. Foo (Maybe (Foo Bool)) mit data Foo a = C a | D

    stellen Sie (dann in der Übung) ähnliche Aufgaben

    geben Sie ein möglichst kleines Programm an, das nur aus data-Deklarationen besteht, und das einen Typ mit 100 (Zusatz: 1000) Elementen definiert.

    Diskussion: vergleiche frühere Aufgabe. Ein solcher Typ ist

    Maybe (Maybe (Maybe .... (Maybe ()) .. ))

    mit insgesamt nur drei Konstruktoren (Nothing, Just, ()).

    Also sollte man zur gerechten Messung der Programmgröße die Anzahl der Konstruktoren und die Größe der Typ-Ausdrücke addieren.

  2. Implementieren Sie die Post-Order Durchquerung von Binärbäumen.

    (Zusatz: Level-Order. Das ist schwieriger.)

    Verwenden Sie nur die in der VL definierten Typen (data List a = ..., nicht Prelude.[])

    und Programmbausteine (case _ of)

    Geben Sie einen Algorithmus zur Lösung der Rekonstruktions-Aufgabe (preorder, postorder) an.

  3. Beweisen Sie (auf Papier, Zusatz: mit Cyp)

    forall xs . reverse (reverse xs) == xs

    Verwenden Sie ggf.

    rev (app xs ys) = app (rev ys) (rev xs)

    oder andere Hilfssätze ohne Beweis (aber mit Beispielen und Tests)

  4. (zu voriger Woche, Typ ist nicht polymorph)

    Definitionen ergänzen; Eigenschaften testen (Einzelfälle, Leancheck), beweisen (Papier oder Cyp)

    data Tree = Leaf | Branch Tree Tree
size :: Tree -> N
leaves :: Tree -> N
branches :: Tree -> N
odd :: N -> Bool
Lemma : 
  size t .=. plus (leaves t) (branches t)
Lemma : odd (size t)

    Folien Induktion über Bäume benutzen.

  5. zum Typ Optional<T> aus JDK (im Vergleich zu Maybe t aus Haskell)

    • mit jshell (23-ea) im Pool vorführen:

      mit of ein Objekt konstruieren, darauf isPresent anwenden

    • geben Sie den Typ von isPresent in Haskell an, Hinweis: :: Maybe t -> _,

      benutzen Sie https://hoogle.haskell.org/ zur Suche nach Funktionen mit diesem Typ (geben Sie den Typ der Funktion ein, nicht den (vermuteten) Namen)

      Rufen Sie solche Funktionen auf (ggf. das passende Modul importieren. Keine neuen Bibliotheken installieren, base genügt)

    • geben Sie den Haskell-Typ von orElse (aus JDK) an. Implementieren Sie diese Funktion in Haskell.

  6. für diese Deklarationen (die Konstruktor-Namen sind abgekürzt, P(air), L(eaf), B(ranch), damit man in Beispielen nicht so viel tippen muß)

    data Pair a b = P a b
data Tree k = L k | B (Tree (Pair k k))

    ergänzen Sie den Ausdruck B (B (L _)) :: Tree Bool

    Welche Form haben die Elemente von Tree k allgemein? Geben Sie weitere Beispiel an.

    Bemerkung: Dieser Typkonstruktor Tree heißt nicht regulär, denn er ist rekursiv und bei Rekursion wird das Typ-Argument geändert. Zum Vergleich: data List t = Nil | Cons t (List t) ist regulär, denn das Argument von List bleibt t.

  7. Darstellung von Zahlen als binäre Bäume:

    import Numeric.Natural
data T = Z | F T T
value :: T -> Natural
value Z = 0
value (F x y) = 2 ^ value x + value y
-- Beispiel:
value (F (F (F Z Z) (F Z Z)) (F Z Z)) = 9

    • geben Sie Terme mit Werten \(0, 1, 2, 3, 4, 14, 144\) an (falls möglich, jeweils mehrere)

    • begründen Sie, daß jede natürliche Zahl durch T darstellbar ist

    • ein Baum t :: T heißt vernünftig, wenn t == Z oder t = F x y und 2 ^ value x > value y und x und y beide vernünftig sind.

      begründen Sie, daß jede natürliche Zahl genau eine vernünftige Darstellung besitzt.

    • Implementieren Sie für vernünftige Bäume:

      Vergleiche (eq :: T -> T -> Bool, gt :: T -> T -> Bool), Nachfolger (s :: T -> T), Addition (p :: T -> T -> T)