Organisatorisches

Ablauf Lehrveranstaltung und Prüfung

Quellen

Übungen KW 15 (vor Vorlesung)

Einleitung

Programmierung im Studium bisher

Worin besteht jetzt der Fortschritt?

Formen der deklarativen Programmierung

Definition: Funktionale Programmierung

Softwaretechnische Vorteile

…der funktionalen Programmierung

Beispiel Spezifikation/Test

import Test.LeanCheck

append :: forall t . [t] -> [t] -> [t]
append [] y = y
append (h : t) y = h : (append t y)

associative f = 
   \ x y z -> f x (f y z) == f (f x y) z
commutative f = \ x y -> ...

test = check (associative (append @Bool))

Übung: Kommutativität (formulieren und testen)

Beispiel Verifikation

app :: forall t . [t] -> [t] -> [t]
app [] y = y
app (h : t) y = h : (app t y)

Lemma: app x (app y z) .=. app (app x y) z

Proof by induction on List x
  Case []
    To show: app [] (app y z) .=. app (app [] y) z
  Case h:t
    To show: app (h:t) (app y z) .=. app (app (h:t) y) z
    IH: app t (app y z) .=. app (app t y) z

CYP https://github.com/noschinl/cyp,

ist vereinfachte Version
von Isabelle https://isabelle.in.tum.de/

Beispiel Parallelisierung (Haskell)

-- Länge der Collatz-Folge
collatz :: Int -> Int
collatz x = if x <= 1 then 0
  else 1 + collatz (if even x then div x 2 else 3*x+1)
-- Summe der Längen
main :: IO ()
main = print $ sum
    $ map collatz [1 .. 10^7]

wird parallelisiert durch Strategie-Annotation:

import Control.Parallel.Strategies
...
main = print $ sum
  $ withStrategy (parListChunk (10^5) rseq)
  $ map collatz [1 .. 10^7]

Beispiel Parallelisierung (C#, PLINQ)

vgl. Introduction to PLINQ

https://msdn.microsoft.com/en-us/library/dd997425(v=vs.110).aspx

Softwaretechnische Vorteile

…der statischen Typisierung

The language in which you write profoundly affects the design of programs written in that language.

For example, in the OO world, many people use UML to sketch a design. In Haskell or ML, one writes type signatures instead. Much of the initial design phase of a functional program consists of writing type definitions.

Unlike UML, though, all this design is incorporated in the final product, and is machine-checked throughout.

Simon Peyton Jones, in: Masterminds of Programing, 2009;

http://shop.oreilly.com/product/9780596515171.do

Deklarative Programmierung in der Lehre

Beziehungen zu weiteren LV: Voraussetzungen

Anwendungen:

Konzepte und Sprachen

Funktionale Programmierung ist ein Konzept. Realisierungen:

Die Erkenntnisse sind sprachunabhängig.

Gliederung der Vorlesung

Anwendungen dieser Konzepte

Literatur (allgemein)

Literatur (speziell diese VL)

Alternative Quellen

Organisation der LV

Übungen

Aufgaben (allgemeines)

Aufgaben

SS 25: Aufgabe 1, 4, 5

  1. Digitale Selbstverteidigung

    1. Welche Daten gibt Ihr Browser preis?

      Starten Sie in einer Konsole den Befehl nc -l -p 9999

      (Konsole soll sichtbar bleiben)

      Rufen Sie im Browser die Adresse http://localhost:9999 auf, beobachten Sie die Ausgabe in der Konsole.

      Wie (personen)spezifisch ist diese Information?

    2. Wie können weitere Informationen extrahiert werden? Verwenden Sie https://www.eff.org/press/releases/test-your-online-privacy-protection-effs-panopticlick (Electronic Frontier Foundation, 2015–)

    3. Stellen Sie Firefox datenschutzgerecht ein. (Das beginnt mit der Default-Startseite!)

      Zeigen Sie die Benutzung von temporary containers, von Profilen (z.B. ein Profil für Browsing im Screen-Share).

      Führen Sie Browser-Plugins uMatrix, uBlockOrigin vor.

  2. zu: E. W. Dijkstra: Answers to Questions from Students of Software Engineering (Austin, 2000) (EWD 1035)

    • putting the cart before the horse

      • übersetzen Sie wörtlich ins Deutsche,

      • geben Sie eine entsprechende idiomatische Redewendung in Ihrer Muttersprache an,

      • wofür stehen cart und horse hier konkret?

  3. sind die empfohlenen exakten Techniken der Programmierung für große Systeme anwendbar?

    Erklären Sie lengths of …grow not much more than linear with the lengths of ….

    • Welche Längen werden hier verglichen?

    Modellieren Sie das System als Graph, die Knoten sind die Komponenten, die Kanten sind deren Beziehungen (direkte Abhängigkeiten).

    • Welches asymptotische Wachstum ist bei undisziplinierter Entwicklung des Systems zu befürchten?

    • Welche Graph-Eigenschaft impliziert den linearen Zusammenhang?

    • Wie gestaltet man den System-Entwurf, so daß diese Eigenschaft tatsächlich gilt? Welchen Nutzen hat das für Entwicklung und Wartung?

  4. Lesen Sie E. W. Dijkstra: On the foolishness of "natural language programming" https://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD06xx/EWD667.html

    und beantworten Sie

    • womit wird “einfaches Programmieren” fälschlicherweise gleichgesetzt?

    • welche wesentliche Verbesserung brachten höhere Programmiersprachen, welche Eigenschaft der Maschinensprachen haben sie trotzdem noch?

    • warum sollte eine Schnittstelle narrow sein?

    • welche formalen Notationen von Vieta, Descartes, Leibniz, Boole sind gemeint? (jeweils: Wissenschaftsbereich, (heutige) Bezeichnung der Notation, Beispiele)

    • warum können Schüler heute das lernen, wozu früher nur Genies in der Lage waren?

    • Übersetzen Sie den Satz “the naturalness of …obvious”.

    Geben Sie dazu jeweils an:

    • die Meinung des Autors, belegt durch konkrete Textstelle und zunächst wörtliche, dann sinngemäße Übersetzung

    • Beispiele aus Ihrer Erfahrung

  5. Über ein Monoid \((M,\circ, 1)\) mit Elementen \(a, b\in M\) (sowie eventuell weiteren) ist bekannt: \(a^2= b^2 = (ab)^2 = 1\).

    Dabei ist \(ab\) eine Abkürzung für \(a\circ b\) und \(a^2\) für \(aa\), usw.

    • Geben Sie ein Modell mit \(1\neq a\neq b\neq 1\) an.

    • Überprüfen Sie \(ab = ba\) in Ihrem Modell.

    • Leiten Sie \(ab=ba\) aus den Monoid-Axiomen und gegebenen Gleichungen ab.

    Das ist eine Übung zur Wiederholung der Konzepte abstrakter und konkreter Datentyp sowie Spezifikation.

  6. im Rechnerpool live vorführen:

    • ein Terminal öffnen

    • ghci starten (in der aktuellen Version), Fakultät von 100 ausrechnen

    • Datei F.hs mit Texteditor anlegen und öffnen, Quelltext f = ... (Ausdruck mit Wert 100!) schreiben, diese Datei in ghci laden, f auswerten

    Dabei wg. Projektion an die Wand:

    Schrift 1. groß genug und 2. schwarz auf weiß.

    Vorher Bildschirm(hintergrund) aufräumen, so daß bei Projektion keine personenbezogenen Daten sichtbar werden. Beispiel: export PS1="$ " ändert den Shell-Prompt (versteckt den Benutzernamen).

    Wer eigenen Rechner im Pool benutzt:

    • Aufgaben wie oben und

    • ssh-Login auf einen Rechner des Pools

      (damit wird die Ausrede GHC (usw.) geht auf meinem Rechner nicht hinfällig)

    • ssh-Login oder remote-Desktop-Zugriff von einem Rechner des Pools auf Ihren Rechner (damit das projiziert werden kann, ohne den Beamer umzustöpseln)

    (falls das alles zu umständlich ist, dann eben doch einen Pool-Rechner benutzen)

Daten

Wiederholung: Terme

Beispiele: Signatur, Terme

Abmessungen von Termen

Induktion über Termaufbau (Beispiel)

Algebraische Datentypen (benannte Notation)

Algebraische Datentypen (positionelle Not.)

Datentyp mit mehreren Konstruktoren

Mehrsortige Signaturen

Bsp.: \(S=\{Z,B\}, \Sigma=\{0 \mapsto ([],Z), p \mapsto ([Z,Z],Z),\) \(e\mapsto ([Z,Z],B), a\mapsto([B,B],B)\}\).

Rekursive Datentypen

Daten mit Baum-Struktur

Übung Terme

Hausaufgaben

SS 25: Aufgaben 2, 3, 4.

  1. autotool-Aufgabe 15-2

    Allgemeine Hinweise zur Bearbeitung von Haskell-Lückentext-Aufgaben in autotool:

    • Schreiben Sie den angezeigten Quelltext (vollständig! ohne zusätzliche Leerzeichen am Zeilenanfang!) in eine Datei mit Endung .hs, starten Sie ghci mit diesem Dateinamen als Argument

    • ändern Sie den Quelltext: ersetzen Sie undefined durch einen geeigneten Ausdruck, hier z.B.

      solution = S.fromList [ False, G ]

      im Editor speichern, in ghci neu laden (:r)

    • reparieren Sie Typfehler, werten Sie geeignete Terme aus, hier z.B. S.size solution

    • werten Sie test aus, wenn test den Wert True ergibt, dann tragen Sie die Lösung in autotool ein.

  2. Geben Sie einen Typ \(T\) (eine data-Deklaration) an, der alle Terme der einsortigen Signatur \(\Sigma=\{E/0, F/2, G/3\}\) enthält.

    Konstruieren Sie Elemente dieses Typs.

    Geben Sie \(t\in\operatorname{Term}(\Sigma)\) an mit

    • \(\operatorname{\textsf {height}}(t)=2\) und \(|t|\) möglichst klein

    • \(\operatorname{\textsf {height}}(t)=2\) und \(|t|\) möglichst groß

    Allgemeine Hinweise zu Arbeit und Präsentation im Pool:

    • beachten Sie https://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/etc/pool/ (PATH und ggf. LD_LIBRARY_PATH)

    • Freigabe (für Dozenten-Rechner) mit krfb, Einmalpaßwort

    • Schrift schwarz auf weiß! Vernünftige Schriftgröße (Control-Plus)!! Gleichzeitig sichtbar (d. h.: keine Verdeckungen, Umschaltungen): Aufgabenstellung, Programmtext, Ausgabe/Fehlermeldungen. Wenn der Desktop-Hintergrund sichtbar ist—wurde Platz verschenkt!!!

  3. Geben Sie einen Typ (eine data-Deklaration) mit genau 71 Elementen an. Sie können weitere Data-Deklarationen benutzen. Minimieren Sie die Gesamt-Anzahl der Konstruktoren.

    Bsp:

    data Bool = False | True ; data T = X Bool Bool

    dieses T hat 4 Elemente, 3 Konstruktoren (False,True,X)

  4. Beweisen Sie \(\forall \Sigma: \forall t\in\operatorname{Term}(\Sigma): \operatorname{\textsf {height}}(t) \le |t|-1\).

    durch Induktion über den Term-Aufbau.

    • Induktions-Anfang: \(t=f()\) (nullstelliges Symbol \(f\))

    • Induktions-Schritt:

      \(t=f(t_1,\dots,t_k)\) (\(k\)-stelliges Symbol \(f\), für \(k>0\))

      dabei Induktions-Voraussetzung: die Behauptung gilt für \(t_1,\ldots,t_k\).

      Induktions-Behauptung: …für \(t\).

    Für welche Terme \(t\) gilt Gleichheit? Wo sieht man das im Beweis?

  5. wieviele Elemente des Datentyps data T = L | B T T haben …

    • die Größe 9

    • die Größe \(\le 9\)

    • die Höhe \(0, 1, 2, 3, \dots, k, \dots\)

    Sie müssen diese Elemente nicht alle einzeln angeben.

    Bestimmen sie ihre Anzahl durch dynamische Programmierung (von Hand).

Aufgaben autotool (Beispiele)

  1. Ersetzen Sie undefined, so daß der Ausdruck test den Wert True hat.

    module Blueprint where
import qualified Data.Set as S
-- aus Prelude importiert:
-- data Bool = False | True
data C = R | G | B deriving (Eq, Ord, Show)
data T = X C Bool | Y Bool | Z deriving (Eq, Ord, Show)
solution :: S.Set T
solution = S.fromList undefined
test :: Bool
test = S.size solution == 9

    Ansatz einer Lösung:

    solution = S.fromList [ X R False, Y True ]

  2. einen Term in einer mehrsortigen Signatur angeben (Programmiersprache: Java)

    Gesucht ist ein Ausdruck vom Typ int
in der Signatur
    Foo e;
    String g;
    static char a ( Bar x, String y, String z );
    static Bar b ( Foo x );
    static int c ( int x, String y );
    static int d ( char x, Foo y, String z );
    static Foo f ( int x );
    static String h ( Foo x, String y, char z );

    Lösungsansatz

    d (a (b (e), ...), ...)
  3. Fill holes (_) (replace with one item)
and ellipsis (...) (replace with several items)
in the following, so that the claim at the top becomes true.

For this exercise, each data declaration can only refer to types defined earlier -
not to itself or later (it cannot be recursive).

size_of (T) == 71 where 
  { data Bool =  False | True 
  ; data Col =  R | G | B 
  ; data S =  ... 
  ; data T =  ...  
  }

Programme

Plan

Bezeichnungen für Teilterme

dabei bezeichnen:

Operationen mit (Teil)Termen

Operationen auf Termen mit Variablen

Termersetzungssysteme

Termersetzungssysteme als Programme

dieses Berechnungsmodell ist im allgemeinen

Konstruktor-Systeme

Für TRS \(R\) über Signatur \(\Sigma\): Symbol \(s\in\Sigma\) heißt

Das TRS \(R\) heißt Konstruktor-TRS, falls:

Übung: diese Eigenschaft formal spezifizieren

Beispiele: \(R_1=\{a(b(x)) \to b(a(x))\}\) über \(\Sigma_1=\{a/1,b/1\}\),

\(R_2=\{f(f(x,y),z) \to f(x,f(y,z))\) über \(\Sigma_2=\{f/2\}\):

definierte Symbole? Konstruktoren? Konstruktor-System?

Funktionale Programme sind ähnlich zu Konstruktor-TRS.

Funktionale Programme (Bsp. und Vergleich)

Alternative Notation f. Gleichungssystem

Pattern Matching

data N = Z | S N ; data Bool = False | True
positive :: N -> Bool
positive x = case x of { Z -> False ; S x' -> True }

Eigenschaften von Case-Ausdrücken

ein case-Ausdruck heißt

Bespiele (für data T = A | B T | F T T)

data und case

typisches Vorgehen beim Verarbeiten algebraischer Daten vom Typ T:

Pattern Matching in versch. Sprachen

Rechnen mit Wahrheitswerten

Syntax für Unterprogramm-Aufrufe

Syntax für Fallunterscheidungen

Übung Term-Ersetzung

Für die Signatur \(\Sigma=\{f/1,g/3,c/0\}\):

Für die Signatur \(\Sigma=\{Z/0, S/1, f/2\}\):

Dabei wurde angewendet:

Abkürzung für Anwendung von 0-stelligen Symbolen: anstatt \(Z()\) schreibe \(Z\). (Vorsicht: dann kann man Variablen nicht mehr von 0-stelligen Symbolen unterscheiden. Man muß dann immer die Signatur explizit angeben oder auf andere Weise vereinbaren, wie man Variablen erkennt, z.B. Buchstaben am Ende das Alphabetes (\(\dots,x,y,\dots\)) sind Variablen, das ist aber riskant)

Übung Pattern Matching, Programme

Hausaufgaben

SS 25: KW 18: Aufgaben 1, 4, 7; KW 19: Aufgaben 5, 6, 8

  1. Arithmetik auf Peano-Zahlen

    • Für \(R=\{ f(S(x),y) \to f(x, S(y)), f(Z,y) \to y\}\)

      bestimme alle \(R\)-Normalformen von \(f(S(Z), S(Z))\).

    • für \(R_d = R\cup\{ d(x)\to f(x,x) \}\)

      bestimme alle \(R_d\)-Normalformen von \(d(d(S(Z)))\).

    • Bestimme die Signatur \(\Sigma_d\) von \(R_d\).

      Bestimme die Menge der Terme aus \(\operatorname{Term}(\Sigma_d)\), die \(R_d\)-Normalformen sind.

    • Welche Rechenoperationen simulieren die Regeln für \(f\), für \(d\)?

    • welche Terme haben große Normalformen?

  2. Simulation von Wort-Ersetzung durch Term-Ersetzung.

    Abkürzung für mehrfache Anwendung eines einstelligen Symbols: \(A(A(A(A(x)))) = A^4(x)\)

    • für \(\{ A(B(x)) \to B(A(x)) \}\)

      über Signatur \(\{A/1, B/1, E/0\}\):

      bestimme Normalform von \(A^k (B^k (E))\)

      für \(k=1, 2, 3,\) allgemein.

    • für \(\{ A(B(x)) \to B(B(A(x))) \}\)

      über Signatur \(\{A/1, B/1, E/0\}\):

      bestimme Normalform von \(A^k (B (E))\)

      für \(k=1, 2, 3,\) allgemein.

  3. für die Signatur \(\{A/2, D/0\}\):

    • definiere Terme \(t_0=D, t_{i+1} = A(t_i, D)\).

      Zeichne \(t_3\). Bestimme \(|t_i|,\operatorname{depth}(t_i)\) .

    • für \(S=\{ A(A(D,x),y)\to A(x,A(x,y)) \}\)

      bestimme \(S\)-Normalform(en), soweit existieren, der Terme \(t_0, t_1, \dots, t_4\).

      Geben Sie für \(t_2\) die ersten Ersetzungs-Schritte explizit an.

    • Normalform von \(t_i\) allgemein.

  4. Für die Deklarationen

    -- data Bool = False | True   (aus Prelude)
data S = A Bool | B | C S S

    entscheide/bestimme für jeden der folgenden Ausdrücke:

    • syntaktisch korrekt?

    • Resultat-Typ (statische Semantik)

    • Resultat-Wert (dynamische Semantik)

    • Menge der Muster ist: disjunkt? vollständig?

    1. case False of { True -> B }
2. case False of { B -> True }
3. case C B B of { A x -> x }
4. case A True of { A x -> False }

5. case A True of { A x -> False ; True -> False }
6. case True of { False -> A ; True -> A False }
7. case True of { False -> B ; False -> A False }
8. case B of { C x y -> False; A x -> x; B -> True }

    weitere Beispiele selbst herstellen und dann in der Übung die anderen Teilnehmer fragen.

  5. für selbst definierte Wahrheitswerte: deklarieren, implementieren und testen Sie:

    • die zweistellige Antivalenz,

    • die Implikation,

    • die dreistellige Majoritätsfunktion.

    import qualified Prelude
data Bool = False | True deriving Prelude.Show
not :: ...
xor :: ...
...

    Definieren Sie die Majorität auf verschiedene Weisen

    • mit einer Gleichung (evtl. mit case, evtl. geschachtelt)

    • ohne case (evtl. mehrere Gleichungen)

    • mit einer Gleichung ohne Fallunterscheidung, mittels anderer (selbst definierter) Funktionen

  6. für binäre Bäume ohne Schlüssel

    data Tree = Leaf | Branch Tree Tree

    deklarieren, implementieren und testen Sie ein einstelliges Prädikat über solchen Bäumen, das genau dann wahr ist, wenn das Argument eine ungerade Anzahl von Blättern enthält.

    Diese Anzahl nicht ausrechnen, sondern direkt den Wahrheitswert!

  7. in welchen Fällen zeigt der Compiler GHC(i) die Warnung overlapping patterns? https://downloads.haskell.org/ghc/latest/docs/users_guide/using-warnings.html#ghc-flag-Woverlapping-patterns

    Desgl. incomplete patterns?

    Definieren Sie formal. Vergleichen Sie mit Def. disjunkt und vollständig aus VL.

    Geben Sie Beispiele an mit selbst gebauten data-Typen.

    also nicht die Beispiele aus der Dokumentation - keine Maschinen- oder andere Zahlen (Int, Integer), keine polymorphen Container (Tupel, Listen).

  8. Der Haskell-Standard enthält

      data  Ordering    =  LT | EQ | GT

    Für diesen Typ gibt es eine Operation (<>), Bsp.

    ghci> LT <> GT    -- Resultat ist  LT

    • implementieren Sie diese Funktion (unter anderem Namen) durch eine möglichst kurze Fallunterscheidung. op x y = case x of ...

    • ist sie kommutativ? assoziativ?

    • besitzt die Operation ein linksneutrales Element? ein rechtsneutrales? eine Umkehr-Operation? (ist das Monoid eine Gruppe?)

    Testen Sie die Übereinstimmung der Definitionen sowie das Vorliegen der Eigenschaften mit leancheck, Bsp.

    ghci> import Test.LeanCheck
ghci> check $ \ (x :: Ordering) -> (x <> x) == x

    wie heißt die hier getestete Eigenschaft?

  9. (Nachtrag statische Semantik, TODO: das sollte auf eine separate Folie) Beantworten Sie durch den Haskell-Standard (Language Report):

    warum ist der folgende Ausdruck statisch falsch?

    -- data Bool = False | True   (aus Prelude)
data S = A Bool | B | C S S -- wie oben
case C B (C (A True) B) of { C x (C y x) -> True }

    Erläuterungen zur Fehlermeldung siehe https://errors.haskell.org/messages/GHC-10498/, aber Verweis auf Standard fehlt dort, selbst suchen unter https://haskell.org/documentation/.

    Welcher Abschnitt erklärt Fallunterscheidung? Dort wird Grammatik-Variable pat verwendet. In welchem anderen Abschnitt stehen deren Regeln? Nach diesen Regeln steht ein Satz, darin ein Begriff (ein Adjektiv) für eine Eigenschaft, die das Muster im Beispiel eben nicht hat.

    Für Term-Ersetzungs-Regeln ist es erlaubt, in der logischen Programmierung auch, in der funktionalen üblicherweise nicht, weil die Implementierung des pattern matching dann deutlich teurer wäre. Warum?

Aufgaben autotool

  1. gesucht ist für das System
 TRS { variables = [ x, y, z ]
   , rules = 
     [ f ( f ( x, y ), z ) -> f ( x, f ( y, z ) )
     , f ( x, f ( y, z ) ) -> f ( f ( x, y ), z ) 
     ]   }
eine Folge von Schritten
von     f ( a, f ( f ( b, f ( c, d ) ), e ) )
nach    f ( f ( a, f ( b, c ) ), f ( d, e ) )

    Lösungs-Ansatz:

    ( f ( a, f ( f ( b, f ( c, d ) ), e ) )
, [ Step  { rule_number = 1  , position = [ ]
     , substitution = listToFM 
        [ (x, a), (z, e), (y, f (b, f (c, d))) ] 
     }                 ] )

Beweise

Motivation

Formale Beweise

CYP: Gleichungsketten

CYP: Fallunterscheidung

Peano-Zahlen

Spezifikation und Test

Bsp: Addition von Peano-Zahlen

Spezifikation und Verifikation

Beweis für: Addition von Peano-Zahlen ist assoziativ

Bezeichnungen in Beweisen durch Induktion

CYP: Induktion

Bsp. Programm-Konstruktion/Induktion

Induktion mit Generalisierung

Induktion über Bäume (IA)

Induktion über Bäume (IS)

Multiplikation von Peano-Zahlen

Minimum

Subtraktion

Hausaufgaben

SS 25: 1, 4, 3

  1. Für die Funktion

    f :: N -> N 
f Z = Z ; f (S x) = S (S (f x))

    beweisen Sie (erst auf Papier, dann mit CYP)

    f (plus x y) = plus (f x) (f y)

    durch Induktion nach x.

    Papier: Verwenden Sie die angegebenen Bezeichnungen für die Beweis-Schritte, geben Sie IA, IV, IB explizit an.

  2. Die übliche Peano-Addition ist

    plus Z y = y ; plus (S x) y = S (plus x y)

    Eine andere Implementierung der Addition (vgl. früher angegebenes Termersetzungssystem) ist

    plus' Z y = y ; plus' (S x) y = plus' x (S y)

    Beweisen Sie mit Cyp

    forall x :: N, y :: N : plus' x y .=. plus x y

    Beweisen Sie dazu als Hilfssatz

    forall x :: N, y :: N : plus x (S y) .=. plus (S x) y

    In dieser Induktion nach \(x\) müssen Sie das andere Argument \(y\) generalisieren, da es zwischen Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung unterschiedlich ist.

  3. Implementieren Sie Peano-Multiplikation und -Potenz.

    Formulieren, testen (leancheck) und beweisen (Papier, CYP) Sie einige Eigenschaften.

    CYP: formulieren Sie ggf. Hilfssätze als Axiome, d.h., ohne Beweis—aber mit Tests.

  4. Für zweistelliges min (siehe Folie) und max auf \(\NN\):

    1. Geben Sie eine äquivalente vollständige Spezifikation an, die keine Fallunterscheidung benutzt, sondern nur Addition.

    2. Implementieren Sie min und max nur durch Addition und Subtraktion (\(\ominus\)).

    3. testen (optional: und beweisen) Sie, daß Ihre Implementierung die Spezifikation erfüllt

    4. Implementieren Sie nur mit min und max:

      • den Median von drei Argumenten

      • (optional) den Median von fünf Argumenten

      Geben Sie Tests an (optional: Beweis)

  5. für das TRS \(R=\{A(A(D,x),y)\to A(x,A(x,y))\}\) über der Signatur \(\Sigma=\{D/0,A/2\}\), vgl. frühere Aufgabe,

    1. die Menge (Folge) aller \(R\)-Normalformen ist \(N_0=D, N_1=A(D,N_0), \dots, N_{k+1}=A(D,N_k),\dots\).

      warum gibt es keine anderen \(R\)-Normalformen?

    2. Die \(R\)-Normalform von \(A(N_l,N_r)\) ist \(N_k\) mit \(k=2^l+r\).

      1. Geben Sie Beispiele an (auf Papier oder maschinell)

      2. beweisen Sie durch vollständige Induktion nach \(l\).

        (Auf Papier, aber mit korrekten Bezeichnungen.)

      3. welches sind die Terme (z.B.: der Größe 11) mit größter Normalform?

Aufgabe Autotool (Beispiel)

a :: T -> T
b :: T -> T
axiom E : forall x :: T : a(b(a(x))) .=. x
Lemma :
  forall x :: T : a(b(b(b(a(a(x)))))) .=. b(b(a(x)))
Proof by rewriting         a(b(b(b(a(a(x))))))
    (by E) .=. _
    (by E) .=. _
    ...
           .=. b(b(a(x)))
QED

Das ist ein Modell für schnittstellen-orientierte Programmierung. Der abstrakte Datentyp \(T\) besteht aus Signatur (\(\{a/1, b/1\}\)) und Axiom \(E\), es ist nichts bekannt über tatsächliche Implementierung.

Lambda-Kalkül: Syntax und dynamische Semantik (Auswertung)

Funktionen als Daten

Der Lambda-Kalkül

Freie und gebundene Variablen(vorkommen)

Semantik des Lambda-Kalküls: Reduktion \(\to_\beta\)

Relation \(\to_\beta\) auf \(\Lambda\) (ein Reduktionsschritt)

Es gilt \(t \to_\beta t'\), falls

Ein (Teil-)Ausdruck der Form \((\lambda x.B)A\) heißt Redex.
(Dort kann weitergerechnet werden.)

Ein Term ohne Redex heißt Normalform.
(Normalformen sind Resultate von Rechnungen.)

Umbenennung von lokalen Variablen

Falsches Binden lokaler Variablen

Semantik …: gebundene Umbenennung \(\to_\alpha\)

Lambda-Terme: verkürzte Notation

Ein- und mehrstellige Funktionen

Lambda-Ausdrücke in C#

Lambda-Ausdrücke in Java

Lambda-Ausdrücke in Javascript

$ node

> let f = function (x){return x+3;}
undefined

> f(4)
7

> ((x) => (y) => x+y) (3) (4)
7

> ((f) => (x) => f(f(x))) ((x) => x+1) (0)
2

Ein AST für Lambda-Terme

Hausaufgaben

SS 25: (3 oder 4), 6; falls noch offen: 1 vorige Woche (Induktion Cyp).

  1. bvar und fvar implementieren, Testfälle vorführen (aus Skript und weitere)

  2. pos, get und put implementieren, Testfälle vorführen.

  3. für \(t=\lambda f x . f (f x)\): AST von \(t t S Z\) zeichnen,

    Normalform bestimmen: 1. auf Papier, 2. mit ghci (dabei \(Z\) und \(S\) als Konstruktoren der Peano-Zahlen)

    3. mit JS (node), dabei \(Z=0\) und \(S=\verb|(x=>x+1)|\).

  4. für \(s=\lambda x y z . x z(y z)\) und \(k=\lambda a b.a\):

    Auswertung von \(s k k 0\) an der Tafel (Terme zeichnen, Redexe angeben usw.), in Haskell, in Javascript (node),

    optional: in C# (csharp), Java (jshell), oder anderer Sprache

  5. Für \(n\in\NN\) bezeichnet (nur für diese Aufgabe, die eckigen Klammern bedeuten oft etwas anderes) \([n]\) den Lambda-Ausdruck \(\lambda f x. f^n(x)\),

    dabei ist \(f^n(x)\) die \(n\)-fach iterierte Anwendung von \(f\) auf \(x\),

    also \([0]=\lambda f x.x, [1]=\lambda f x. f x, [2]=\lambda f x.f (f x), [3]=\lambda f x.f (f (f x))\) usw.

    die Normalform von \([2] s z\) ist \(s (s z)\), das entspricht der Peano-Repräsentation der Zahl 2.

    • für \(p=\lambda a b f x.a f (b f x)\): bestimmen Sie die Normalform von \(p [2] [1] s z\)

    • bestimmen Sie die Normalform von \([3] [2] s z\)

  6. zur Folie Falsches Binden lokaler Variablen (wurde in VL übersprungen)

    • abstrakte Syntax des Ausdrucks zeichnen (unter der Annahme eines zusätzlichen zweistelligen Symbols für Addition),

    • die Variablen-Bedingung für angegebenen Redex überprüfen,

    • lokale Umbenennung durchführen,

    • dann reduzieren bis Normalform (unter der Annahme einer zusätzlichen arithmetischen Regel für Addition)

Aufgaben autotool (Beispiele)

  1. Gesucht ist eine Ableitung mit genau 4 Reduce-Schritten , die

        (\ z -> (\ u -> u z) (\ u v -> z)) ((\ z -> x y) x)

    überführt in

        (\ u v -> x y) (x y)

    Anfang einer Lösung:

    Aktueller Term ist
    (\ z -> (\ u -> u z) (\ u v -> z)) ((\ z -> x y) x)

Aktueller Schritt ist
    Step 
      { position = [ 1 ]
      , action = Reduce { formal = z, body = x y, argument = x } 
      }

Teilterm an Position 
[ 1 ] ist

    (\ z -> x y) x

Resultat der Anwendung auf den Teilterm ist
    x y

Ergebnis der Ableitung ist
    (\ z -> (\ u -> u z) (\ u v -> z)) (x y)

L-K.: statische Semantik (Typisierung)

Motivation, Plan

Grundlagen zur Typisierung

Einfache (monomorphe) Typen

Verkürzte Notation für Typen

Typ-Abstraktion und -Applikation

Polymorphie: Notation

Polymorphie: Notation: Abkürzungen

Nützliche Funktionen höherer Ordnung

Der allgemeinste Typ eines Ausdrucks

Beispiel für Typ-Bestimmung

Aufgabe: bestimme den allgemeinsten Typ von \(\lambda f x. f(f x)\)

Stelligkeit von Funktionen

Polymorphe algebraische Datentypen

Nützliche Typkonstruktoren

Zusammenfassung, Ausblick

Übung

Hausaufgaben

SS 25: 1, 3, 7

  1. für die Lambda-Ausdrücke

    1. \(\lambda f g h x y . f (g x) (h y)\):

    2. \((\lambda x.x x) (\lambda y.y y)\)

    3. \(\lambda x y z . x y (y z)\)

    4. \(\lambda a b . b (\lambda x . x a)\)

    AST zeichnen, allgemeinsten Typ bestimmen, falls möglich

    (1. von Hand, mit Begründung, 2. mit ghci überprüfen)

  2. für die Ausdrücke

    flip
flip flip
flip flip flip
...

    jeweils Argumente \(a_1 a_2\dots\) angeben (passende Anzahl), so daß der Wert von flip flip ... flip a1 a2 ... gleich True ist.

    Dabei alle Typargumente für alle flip explizit angeben.

  3. in Haskell: Lambda-Ausdrücke mit diesen Typen angeben, falls möglich:

    a -> (a -> c) -> c
a -> b
(a -> b) -> (b -> c) -> a -> c
a -> (a -> a) -> a
(a -> b) -> (a -> c) -> (b -> c -> d) -> a -> d

    mit ghci überprüfen (Typen anzeigen lassen)

    die Ausdrücke dann auch mit passenden Argumenten aufrufen, so daß der Wert True ist (oder von einem andern data-Typ, jedenfalls keine Funktion)

  4. (einige der) Funktionen compose, flip, curry, uncurry

    in C# (csharp) und Java (jshell) deklarieren (vorher prüfen, ob es die schon gibt) (anhand von Primärquellen)

    und aufrufen (dabei Typ-Argumente explizit angeben)

    Den Typ für 2-Tupel aus der jeweiligen Standardbibliothek benutzen.

  5. (Aufgabe verschoben in nächsten Abschnitt)

  6. Typisierung von \(s k k \textsf{False}\) (vgl. Aufgabe vorige Woche) in Java oder C#.

    Vorübung: in Haskell, dabei für \(s\) und \(k\) alle Typen deklarieren und alle Typ-Argumente angeben.

    i :: a -> a ; i = \ x -> x  -- nur für Beispiel
k :: a -> b -> a ; k = \ x y -> x
s :: (a -> b -> c) -> ... ; s = \ x y z -> x z (y z)

i @(Bool -> Bool) (i @Bool) False   -- Beispiel
s @(...) (k @...) (k @...) False

    in Java und C#: besteht Unterschied zwischen Werten und Methoden: Methoden können polymorph sein, Werte nicht.

    Lambda-Ausdrücke sind Werte, also nicht polymorph:

    Function<Boolean,Boolean> i = (x) -> x  // monomorph

    im Bespiel \(s k k \textsf{False}\) muß \(k\) polymorph sein, da es mit zwei verschiedenen Belegungen der Typ-Argumente benutzt wird.

    Lösung (d.h., Umweg): eine polymorphe nullstellige Methode schreiben, die den Lambda-Ausdruck liefert.

    $ jshell
jshell> class C {
  static <A> Function<A,A> i() { return (x)->x; }
  // hier s und k ähnlich deklarieren
}
jshell> C.<Function<Boolean,Boolean>>i().apply(C.<Boolean>i()).apply(false)

    In C# genauso, aber das apply entfällt.

    $ csharp
csharp> class C { public static Func<A,A> i<A>() { return x=>x; }} 
csharp> C.i<Func<Boolean,Boolean>>()(C.i<Boolean>())(false)

  7. (diese Aufgabe erst nach VL hinzugefügt) (für Unit,Maybe,Pair, Either, Bool wie auf voriger Folie)

    Geben Sie eine Bijektion zwischen diesen Typen an

    type T1 a b = Either (Either (Maybe a) b) (Either a Unit)
type T2 a b = Either (Pair (Maybe a) Bool) b

f :: forall a b . T1 a b -> T2 a b
f x = case x of ...

g :: forall a b . T2 a b -> T1 a b
g y = case y of ...

    Dazu auch autotool-Aufgabe.

Aufgaben autotool (Beispiele)

  1. gesucht ist ein Ausdruck vom Typ
    M Bool 
(oder einem allgemeineren Typ)
in der Signatur
    { j :: forall a . M (M a) -> M a
    ; m :: forall a b . (a -> b) -> M a -> M b
    ; x :: M Foo 
    ; g :: Bar  -> Int 
    ; c :: Foo  -> M Bool 
    ; r :: forall a . a -> M a 
    }
  2. Fill holes (_) (replace with one item)
in the following, so that the claim at the top becomes true.

size_of (A (Maybe _)) == 9 where 
{ data Unit = Unit 
; data Maybe a =  Nothing | Just a 
; data G = F Unit 
; data A z = I z z  
}

  3. Automatisierter Test für die Aufgabe: Bijektion zwischen T1 a b und T2 a b.

    Besonderheiten beim Entwurf dieser Aufgabe

    • geübt werden polymorphe algebraische Datentypen, aber ohne Rekursion, und wiederholt wird Pattern Matching.

    • die Bijektion wird als Paar von Funktion \(f\) und Umkehrfunktion \(g\) notiert, getestet werden \(f\circ g = \textsf{id}\) und \(g\circ f = \textsf{id}\).

      Ü: warum reicht einer dieser Tests nicht aus?

    • obwohl nur mit einer konkreten Belegung der Typargumente getestet wird, kann die Implementierung diese Information nicht (zum Betrug) verwenden, weil \(f\) und \(g\) mit polymorphem Typ deklariert sind.

    import Test.LeanCheck

data Unit = Unit deriving (Show, Eq)
data Pair a b = Pair a b deriving (Show, Eq)

type T1 a b = Either (Either (Maybe a) b) (Either a Unit)
type T2 a b = Either (Pair (Maybe a) Bool) b

f :: forall a b . T1 a b -> T2 a b
f x = case x of
  Left xl -> undefined
  Right xr -> undefined

g :: forall a b . T2 a b -> T1 a b
g y = case y of
  Left yl -> undefined
  Right yr -> undefined

prop1 :: forall a b . (Eq a, Eq b) => T1 a b -> Bool
prop1 = \ x -> g (f x) == x

prop2 :: forall a b . (Eq a, Eq b) => T2 a b -> Bool
prop2 = \ y -> f (g y) == y

test = and
  [ holds 1000 $ prop1 @Bool @(Maybe Bool)
  , holds 1000 $ prop2 @Bool @(Maybe Bool)
  ]

instance Listable Unit where
  tiers = cons0 Unit
instance (Listable a, Listable b) => Listable (Pair a b) where
  tiers = cons2 Pair

Polymorphe Algebr. Datentypen

Motivation (I): Bäume

Motivation (II): Listen

(Wdhlg) Nicht rekursive Typkonstruktoren

Anwendung von Maybe

Polymorphe Funktionen

Operationen auf Listen (I)

data List a = Nil | Cons a (List a)

https://www.dfg.de/resource/blob/289674/ff57cf46c5ca109cb18533b21fba49bd/230921-stellungnahme-praesidium-ki-ai-data.pdf

Operationen auf Listen (II)

Struktur-erhaltende Transformation (map)

Extensionale Gleichheit von Funktionen

Tests für Funktionen

Operationen auf Bäumen

data List e = Nil | Cons e (List e)
data Bin e = Leaf | Branch (Bin e) e (Bin e)

Knotenreihenfolgen

Adressierug von Knoten

Nutzen der stat. Typisierung und Polymorphie

Konstruktion von Objekten eines Typs

Aufgabe (Bsp): x :: Either (Maybe ()) (Pair Bool ())

Lösung (Bsp):

Insgesamt x = Right y = Right (Pair False ())

Vorgehen (allgemein)

Bestimmung des Typs eines Bezeichners

Aufgabe (Bsp.) bestimme Typ von x (erstes Arg. von get):

at :: List N -> Tree a -> Maybe a
at p t = case t of
  Node f ts -> case p of
    Nil -> Just f
    Cons x p' -> case get x ts of
      Nothing -> Nothing
      Just t' -> at p' t'

Lösung:

Vorgehen zur Typbestimmung eines Namens:

Hausaufgaben

SS 25: (1 oder 5), 2 (oder andere Aufgabe mit leancheck, 8, 10) 3 (oder andere Aufgabe mit einem Beweis, 4)

  1. für die folgenden Datentypen: geben Sie einige Elemente an (ghci), geben Sie die Anzahl aller Elemente an.

    1. Maybe (Maybe Bool)

    2. Either (Bool, ()) (Maybe ())

    3. Foo (Maybe (Foo Bool)) mit data Foo a = C a | D

    stellen Sie (dann in der Übung) ähnliche Aufgaben

    geben Sie ein möglichst kleines Programm an, das nur aus data-Deklarationen besteht, und das einen Typ mit 100 (Zusatz: 1000) Elementen definiert.

    Diskussion: vergleiche frühere Aufgabe. Ein solcher Typ ist

    Maybe (Maybe (Maybe .... (Maybe ()) .. ))

    mit insgesamt nur drei Konstruktoren (Nothing, Just, ()).

    Also sollte man zur gerechten Messung der Programmgröße die Anzahl der Konstruktoren und die Größe der Typ-Ausdrücke addieren.

  2. Implementieren Sie die Post-Order Durchquerung von Binärbäumen.

    postorder :: Tree a -> List a

    (Zusatz: Level-Order. Das ist schwieriger.)

    Verwenden Sie nur die in der VL definierten Typen (data List a = ..., nicht Prelude.[])

    und Programmbausteine (case _ of)

    Implementieren Sie die strukturerhaltende Transformation

    tmap :: (a -> b) -> Tree a -> Tree b

    Testen Sie mit leancheck die Eigenschaft

    postorder . tmap f = map f . postorder

  3. Beweisen Sie (auf Papier, Zusatz: mit Cyp)

    forall xs . reverse (reverse xs) == xs

    Verwenden Sie ggf.

    rev (app xs ys) = app (rev ys) (rev xs)

    oder andere Hilfssätze ohne Beweis (aber mit Beispielen und Tests)

  4. (zu voriger Woche, Typ ist nicht polymorph)

    Definitionen ergänzen; Eigenschaften testen (Einzelfälle, Leancheck), beweisen (Papier oder Cyp)

    data Tree = Leaf | Branch Tree Tree
size :: Tree -> N
leaves :: Tree -> N
branches :: Tree -> N
odd :: N -> Bool
Lemma : 
  size t .=. plus (leaves t) (branches t)
Lemma : odd (size t)

    Folien Induktion über Bäume benutzen.

  5. zum Typ Optional<T> aus JDK (im Vergleich zu Maybe t aus Haskell)

    • mit jshell (23 oder neuer) im Pool vorführen:

      mit of ein Objekt konstruieren, darauf isPresent anwenden

    • geben Sie den Typ von isPresent in Haskell an, Hinweis: :: Maybe t -> _,

      benutzen Sie https://hoogle.haskell.org/ zur Suche nach Funktionen mit diesem Typ (geben Sie den Typ der Funktion ein, nicht den (vermuteten) Namen)

      Rufen Sie solche Funktionen auf (ggf. das passende Modul importieren. Keine neuen Bibliotheken installieren, base genügt)

    • geben Sie den Haskell-Typ von orElse (aus JDK) an. Implementieren Sie diese Funktion in Haskell.

  6. für diese Deklarationen (die Konstruktor-Namen sind abgekürzt, P(air), L(eaf), B(ranch), damit man in Beispielen nicht so viel tippen muß)

    data Pair a b = P a b
data Tree k = L k | B (Tree (Pair k k))

    ergänzen Sie den Ausdruck B (B (L _)) :: Tree Bool

    Welche Form haben die Elemente von Tree k allgemein? Geben Sie weitere Beispiel an.

    Bemerkung: Dieser Typkonstruktor Tree heißt nicht regulär, denn er ist rekursiv und bei Rekursion wird das Typ-Argument geändert. Zum Vergleich: data List t = Nil | Cons t (List t) ist regulär, denn das Argument von List bleibt t.

  7. Darstellung von Zahlen als binäre Bäume:

    import Numeric.Natural
data T = Z | F T T
value :: T -> Natural
value Z = 0
value (F x y) = 2 ^ value x + value y
-- Beispiel:
value (F (F (F Z Z) (F Z Z)) (F Z Z)) = 9

    • geben Sie Terme mit Werten \(0, 1, 2, 3, 4, 14, 144\) an (falls möglich, jeweils mehrere)

    • begründen Sie, daß jede natürliche Zahl durch T darstellbar ist

    • ein Baum t :: T heißt vernünftig, wenn t == Z oder t = F x y und 2 ^ value x > value y und x und y beide vernünftig sind.

      begründen Sie, daß jede natürliche Zahl genau eine vernünftige Darstellung besitzt.

    • Implementieren Sie für vernünftige Bäume:

      Vergleiche (eq :: T -> T -> Bool, gt :: T -> T -> Bool), Nachfolger (s :: T -> T), Addition (p :: T -> T -> T)

      Hinweis: mit gen :: Natural -> T (als Umkehrfunktion von value) geht das so: p x y = gen (value x + value y). Gesucht sind Lösungen ohne Umweg über Natural.

      Ansatz: Klar ist s Z = F Z Z. Wann ist s (F x y) = F x (s y) falsch? Wie kann man das 1. feststellen, 2. reparieren?

  8. zu Eigenschaften prop1, prop2 von map :: forall a b . (a -> b) -> List a -> List b

    geben Sie jeweils, falls möglich, eine typkorrekte Implementierung von map an,

    1. die weder prop1 noch prop2 erfüllt,

    2. die prop2, aber nicht prop1 erfüllt.

  9. für beliebig verzweigende Bäume

    data List a = Nil | Cons a (List a)
data Tree k = Node k (List (Tree k))

    1. einen vollständigen Binärbaum der Höhe 2 vom Typ Tree Bool erzeugen.

    2. dabei für die Aufrufe der Datenkonstruktoren die Typ-Argumente angeben

    3. eine (rekursive) Funktion b :: N -> Tree N schreiben (N sind die Peano-Zahlen), so daß die Wurzel von \(b(k)\) den Schlüssel \(k\) und Kinder \([b(k-1),\dots,b(0)]\) hat. Insbesondere hat \(b(0)\) keine Kinder.

    4. wieviele Knoten hat \(b(k)\)? Beweis?

    5. (Zusatz) wieviele Knoten hat \(b(k)\) im Abstand \(l\) zur Wurzel?

  10. Für Bäume und Positionen

    data Bin e = Leaf | Branch (Bin e) e (Bin e)
data List a = Nil | Cons a (List a)
data Dir = L | R ; type Position = List Dir

    diese Funktionen implementieren

    1. alle Positionen im Baum positions :: Bin e -> List Position

    2. der Teilbaum an einer Position (\(t[p]\)) get :: Position -> Bin e -> Maybe (Bin e)

    3. die Operation \(t[p:=s]\) (Teilbaum ersetzen) put :: Position -> ...

    die Eigenschaft \(\forall t, p: p\in\operatorname{Pos}(t) \Rightarrow t[p := t[p]] = t\) mit Leancheck formulieren und testen

Rekursionsmuster

Rekursion über Bäume (Beispiele)

Rekursion über Bäume (Schema)

f :: Tree a -> b
f t = case t of
  Leaf -> ...
  Branch l k r -> ... (f l) k (f r)

dieses Schema ist eine Funktion höherer Ordnung:

fold :: ( ... ) -> ( ... ) -> (Tree a -> b)
fold leaf branch = \ t -> case t of
  Leaf -> leaf
  Branch l k r -> 
     branch (fold leaf branch l) 
            k (fold leaf branch r)
summe = fold Z (\ x y z-> plus x (plus y z))

(bei Aufruf ist dann x=summe l, y=k, z=summe r)

Rekursion über Listen (Bsp. und Schema)

and :: List Bool -> Bool
and xs = case xs of 
  Nil -> True ; Cons x xs' -> x && and xs'
length :: List a -> N
length xs = case xs of
  Nil -> Z ; Cons x xs' ->  S (length xs')

fold :: b -> ( a -> b -> b ) -> List a -> b
fold nil cons xs = case xs of
    Nil -> nil
    Cons x xs' -> cons x ( fold nil cons xs' )
and = fold True (&&) 
length = fold Z ( \ x y ->  S y)

Rekursionsmuster (Prinzip)

Rekursionsmuster (Merksätze)

aus dem Prinzip ein Rekursionsmuster anwenden \(=\) jeden Konstruktor durch eine passende Funktion ersetzen folgt:

Argumente für Rekursionsmuster finden

systematisches experimentelles Vorgehen zur Lösung von:

Schreiben Sie Funktion \(f:T \to R\) als fold

Beispiel: reverse :: List a -> List a

Rekursionsschema f. mehrstellige Fkt. (I)

Rekursionsschema f. mehrstellige Fkt. (II)

Rekursionsm. (Peano-Zahlen) (einst.)

Rekursionsm. (Peano-Zahlen) (zweist.) (I)

Rekursionsm. (Peano-Zahlen) (zweist.) (II)

Nicht durch Rekursionmuster darstellbare Fkt.

Darstellung mit Fold und Projektion

Zusammenfassung Rekursionmuster

Spezialfälle des Fold

Rekursion über Listen aus Std.-Bib.

das vordefinierte Rekursionsschema über Listen ist:

foldr :: (a -> b -> b) -> b -> ([a] -> b)
length = foldr ( \ x y -> 1 + y ) 0 -- Bsp

Aufgaben:

Weitere Übungsaufgaben zu Fold

Implementierungen für natürlichen Zahlen

Merksätze

Hausaufgaben

SS 25: 1, 3, 4

  1. Wenden Sie die Vorschrift zur Konstruktion des Rekursionsmusters an auf die Typen

    Bool, Maybe a, Pair a b, Either a b

  2. implementieren Sie mit dem Rekursionsmuster auf Peano-Zahlen:

    • g :: N -> Bool mit \(g x=\) (\(x\) ist eine gerade Zahl)

    • plus, mal, hoch

  3. für den Datentyp der binären Bäume mit Schlüsseln nur in den Blättern

    data Tree a
  = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)

    1. aus dem Typ das Rekursionsschema ableiten

        fold :: ...

    2. Beispiele (jeweils zunächst den Typ angeben!)

      • Anzahl der Blätter

      • Anzahl der Verzweigungsknoten

      • Summe der Schlüssel

      • die Tiefe des Baumes

      • der größte Schlüssel

      • der Schlüssel links unten (auf Position \(p \in 0^*\))

  4. Beweisen Sie, daß die modifizierte Vorgängerfunktion

    pre :: N -> N; pre Z = Z; pre (S x) = x

    kein fold ist.

    benutze ergänzende Aufgabe in autotool

    • Diese Funktion pre kann jedoch als Projektion einer geeigneten Hilfsfunktion h :: N -> (N,N) realisiert werden. Spezifizieren Sie h und geben Sie eine Darstellung von h als fold an.

    • Implementieren Sie die (modifizierte) Subtraktion minus mit fold (über das erste oder zweite Argument?) (und pre)

  5. für Listen aus Standardbibliothek:

    1. die Funktion scanr an Beispiele vorführen,

    2. mit foldr implementieren. Ansatz:

      scanr f s = foldr (\ x (y:ys) -> _ ) [s]

    3. die Funktion tails mit scanr implementieren

  6. Rekursionsmuster auf Eigenbau-Listen:

    • mit fold und ohne Rekursion implementieren:

      isPrefixOf :: Eq a => List a -> List a -> Bool

      siehe Folie Rekursionsmuster für mehrstellige Funktion, fold über das erste Argument. Ansatz:

      isPrefixOf = fold (\ ys -> True) (\ x p ys -> case ys of
  Nil -> _ ; Cons y ys' -> _)

      (Das Typ-Constraint Eq a bedeutet, daß der Operator (==) :: a -> a -> Bool benutzt werden kann, genaue Erklärung dazu später.)

    • die Eigenschaft isPrefixOf xs (append xs ys) mit Leancheck überprüfen (für xs :: List Bool)

      Diese Eigenschaft abändern und Gegenbeispiele diskutieren.

    • für isSuffixOf: 1. konkrete Testfälle, 2. allgemeine Eigenschaft, 3. Implementierung ohne Rekursion, ohne Fold, aber unter Benutzung von reverse angeben.

  7. Rekursionsmuster auf binären Bäumen (Schlüssel in Verzweigungsknoten)

    • Beweisen Sie, daß is_search_tree :: Tree N -> Bool kein fold ist.

    • diese Funktion kann jedoch als Projektion einer Hilfsfunktion h :: Tree N -> (Bool, Maybe (N,N)) erhalten werden, die für Bäume mit nicht-leerer Schlüsselmenge auch noch deren kleinstes und größtes Element bestimmt. Stellen Sie h als fold dar.

    Bemerkung zu \(\NN\) beachten. Hier ist Numeric.Natural sinnvoll.

  8. für binäre Bäume mit Schlüsseln in den Blättern:

    die strukturerhaltende Abbildung definieren

    mapt :: (a -> b) -> Tree a -> Tree b

    (1) durch direkte Rekursion, (2) durch fold

    die Aussage mapt id = id überprüfen (3) an konkreten Testfällen, (4) mit leancheck. Dazu

    instance Listable a => Listable (Tree a) where
  tiers = cons1 Leaf \/ cons2 Branch

  9. für binäre Bäume mit Schlüsseln in den Blättern: eine Funktion

    unfold :: (r -> Either k (r, r)) -> r -> Tree k

    definieren, so daß

    unfold (\ x -> if x == 0 then Left () else Right (x-1,x-1)) h

    einen vollständigen Binärbaum der Höhe \(h\) erzeugt.

    (+) in jedem Blatt soll die Höhe des gesamten Baumes stehen.

    (++) die Schlüssel in den Blättern sollen (von links nach rechts) \([0,1,2 \dots]\) sein

    Wie hoch ist, wieviele Blätter hat, wie heißt dieser Baum?

    unfold (\ x -> if x > 1 then Left () else Right (x-1,x-2)) h

    Ergänzen Sie die Beziehung zwischen fold und unfold: für alle g, l, b mit passenden Typen gilt:

    wenn  forall x : case g x of
                    Left k      -> l k == x
                    Right (y,z) -> _
dann  forall x : fold l b (unfold g x) == x

Aufgabe autotool (Beispiel)

Implementieren Sie tails mit fold:

{-# language TypeApplications #-}

module Blueprint where
import Test.LeanCheck
import Prelude hiding (head, map)

data List a = Nil | Cons a (List a) deriving (Eq, Show)

instance Listable a => Listable (List a) where
  tiers = cons0 Nil \/ cons2 Cons

fold :: r -> (a -> r -> r) -> List a -> r
fold nil cons xs = case xs of
  Nil -> nil
  Cons x xs' -> cons x (fold nil cons xs')

tails :: List a -> List (List a)
tails =
  fold undefined ( \ x y -> Cons undefined undefined )

prop :: Eq a => List a -> Bool
prop = \ xs -> head (tails xs) == xs

head :: List a -> a
-- partielle Funktion!
head (Cons x xs) = x

test :: Bool
test = and
  [ tails (Cons 1 (Cons 2 Nil))
    == Cons (Cons 1 (Cons 2 Nil)) (Cons (Cons 2 Nil) (Cons Nil Nil))
  , holds 100 (prop @Bool)
  ]

Plan (vorläufig)