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Symbolisches Rechnen
Vorlesung
Wintersemester 2006, 2014
Sommersemester 2021
Johannes Waldmann, HTWK Leipzig
#1515#>
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Einleitung
Symbolisches Rechnen: Beispiele: Zahlen
Symbolisches Rechnen: Beisp.: Funktionen
Symbolisches Rechnen: Motivation
Überblick
Literatur
Software
Beispiel: S.R. und Term-Ersetzung
Beispiel: Termersetzung (cont.)
Beispiel: Inverse Symbolic Calculator
Hausaufgaben KW 14, Organisatorisches
Zahlen
Überblick
Darstellung natürlicher Zahlen
Natürliche Zahlen, Addition
Rekursive Multiplikation
Karatsuba-Multiplikation
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Explosion der Stellenanzahl (Beispiel)
Endliche und unendliche ,,Dezimal``brüche
Berechenbare reelle Zahlen
Potenzreihen, Exponentialfunktion
Potenzreihe für Wurzelfunktion
Hausaufgaben
Zahlen, Vektoren, Gitter
Wiederholung, Motivation
Die Hamming-Folge
Benachbarte zerlegbare Zahlen
Die ABC-Vermutung
Gitter: Definition, Beispiel, SVP
Ganzzahlige Beziehungen
Exakte Rechnung für Dimension 2
Bemerkungen zu diesem Verfahren
Gitterbasis-Reduktion: LLL
Anwendung: Integer Relations
Anwendung: ABC-Tripel
Hausaufgaben
On Numbers And Games
Einordnung
Toads and Frogs
Hackenbush
Abstrakte Zweipersonen-Spiele
Literatur
Implementierungen
Der Status eines Spieles
Das entgegengesetzte Spiel
Die Summe von Spielen
Die Äquivalenz von Spielen
Eine Halbordnung auf Spielen
Mehr zu Hackenbush
Hausaufgaben
Die Normalform von Spielen
Motivation
Vergleich, Ausblick
Unnütze Optionen hinzufügen
Dominierte Optionen weglassen
Reversible Optionen ersetzen
Satz über Normalformen
Zahlen
Ganze Zahlen und dyadische Brüche
Switches
Die Temperatur eines Spieles
Hausaufgaben
Abstrakte Reduktionssysteme (ARS)
Definition, Motivation
Literatur, Quellen
Wiederholung: Relationen
Beispiele
Bezeichnungen (I)
Bezeichnungen (Eigenschaften v. Elementen)
Bezeichnungen (Eigenschaften v. Relationen)
Hausaufgaben
Beziehungen zw. ARS-Eigenschaften
Motivation, Plan
Normalformen
CR und Konfluenz
Konfluenz und Normalformen
Lokale Konfluenz und Konfluenz
Konfluenz ohne Termination
Hausaufgaben
Terme, Ersetzungs-Systeme (Grundl.)
Termbäume, Positionen
Baum-Bereiche
Einsetzen an Position
Variablen, Substitutionen
Regeln
Regelsysteme
Termersetzung/Anwendungen
Term-Ersetzung und Computeralgebra
Wort- und Term-Ersetzung
Hausaufgaben zu TRS, SRS
Gleichungsdefinierte Strukturen
Gleichungssysteme (Syntax)
Algebren (Semantik)
Modelle
Syntaktische u. semantische Äq. von Termen
Gleichungstheoreme und induktive Th.
Aufgaben
Termination
Motivation
Automatische Terminations-Analyse
Historische Quellen zur Termination
Beweisverfahren für Termination
Wohlfundierte monotone Algebren
Wohlfundierte monotone Algebren (II)
Beispiel wfmA
Systematik wfmA
Matrix-Interpretationen (für SRS) als wfmA
Matrix-Interpretationen (für TRS) als wfmA
Synthese von Gewichtsfunktionen (für SRS)
Modulare SN-Beweise, relative Termination
Aufgaben
Konfluenz und Vervollständigung
Motivation, Beispiel
Kritische Paare
Kritische Paare und (lokale) Konfluenz
Bsp. Kritische Paare für SRS
Bsp. kritische Paare für TRS
Orthogonale Systeme
Vervollständigung (basic)
Vervollständigung (improved)
Inferenzsystem für Vervollständigung
Aufgabe zu Vervollständigung in autotool
Vervollständigung: Knuth/Bendix, 1970
Wortprobleme für Gruppen, ab 1900
Wiederholung: Unifikation
Wiederholung: Bestimmung des mgu
Hausaufgaben
Polynome
Motivation (I): Polynom-Interpretationen
Motivation (II): Algebraische Zahlen
Motivation (III): Geometrische Örter
Semantik und Syntax von Polynomen
Gruppen, Ringe, Körper
Polynome in einer Variablen
Polynome in mehreren Variablen
Hausaufgaben
Gröbnerbasen
Begriff, Motivation
Literatur
Anwendung
Ideale
Motivation für Polynom-Reduktion
Ordnung auf Monomen
Ordnung auf Mengen von Monomen
Reduktion von Polynomen
Gröbnerbasen
S-Polynome
Der Buchberger-Algorithmus
Buchberger-Alg., Beispiel
Der Buchberger-Algorithmus (II)
Hausaufgaben
Gröberbasen in der Geometrie
Beispiel
Methode
Methode (Variante)
Anwendungen
Hausaufgaben
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